Resolva a equação diferencial usando séries de potências:
y^prime prime prime-x y^prime+y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y''' - x y' + y = 0 com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0 usando série de potências.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em x=0:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Daí segue
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n, y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n, y'''(x)=sumn=0^infty(n+3)(n+2)(n+1)an+3x^n

Passo 3

Substituindo na equação y''' - x y' + y = 0 obtemos
sumn=0^infty(n+3)(n+2)(n+1)an+3x^n -sumn=1^inftyn an x^n +sumn=0^inftyan x^n =0
Igualando coeficientes de x^n surge para n=0
6a3 + a0 = 0
e, para n>=1,
(n+3)(n+2)(n+1)an+3 + (1-n)an = 0
o que dá a relação de recorrência
an+3 = (n-1)an(n+3)(n+2)(n+1), n>=1

Passo 4

Das condições iniciais temos
a0 = y(0) = 0, a1 = y'(0) = 1, 2a2 = y''(0) = 0implies a2 = 0
E da relação para n=0 segue a3= -a0/6 = 0.

Passo 5

Agora, pelo esquema de recorrência, todos os termos gerados a partir de a0, a2, a3 são nulos e o único coeficiente não nulo é a1=1. Logo
y(x)=a1 x = x

Passo 6

Concluímos que a solução da equação com as condições iniciais é simplesmente y(x)=x.

Resposta

y(x)=x

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