Resolva a seguinte equação diferencial:
y^prime prime prime-4 y^prime prime+4 y^prime=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceiro grau com coeficientes constantes
y''' - 4y'' + 4y' = e^2x,
que é um ODE linear não homogêneo. Vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea usando equação característica e depois uma solução particular via método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' - 4y'' + 4y' = 0
Escrevendo a equação característica em r, temos
r^3 - 4r^2 + 4r = r(r^2 - 4r + 4) = r(r - 2)^2 = 0
As raízes são r=0 e r=2 (dupla). Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2 e^2x + C3 x e^2x

Passo 3

Para a solução particular yp, como o termo de força é e^2x e r=2 é raiz dupla, tentamos
yp = A x^2 e^2x
Precisamos das derivadas:
yp' = Addx(x^2 e^2x) = A e^2x(2x^2 + 2x),
yp'' = Addxl(e^2x(2x^2 + 2x)r) = A e^2x(2(2x^2 + 2x) + 4x + 2) = 2A e^2x(2x^2 + 4x +1),
yp''' = Addxl(2e^2x(2x^2 + 4x +1)r) = 2A e^2x(4x^2 +12x +6)

Passo 4

Substituindo na equação original, obtemos
yp''' - 4yp'' + 4yp' = 2A e^2x(4x^2+12x+6) - 4l[2A e^2x(2x^2+4x+1)r] + 4l[A e^2x(2x^2+2x)r]
Agrupando termos de x^2, x e constante, só sobra
4A e^2x = e^2x,
logo 4A = 1 e A = tfrac14.

Passo 5

A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular. Assim,
y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 x e^2x + 14 x^2 e^2x

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}x e{2x}+\frac{1}{4}x{2}e^{2x}

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