Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceiro grau com coeficientes constantes
que é um ODE linear não homogêneo. Vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea usando equação característica e depois uma solução particular via método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevendo a equação característica em
, temos
As raízes são
e
(dupla). Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
, como o termo de força é
e
é raiz dupla, tentamos
Precisamos das derivadas:
Passo 4
Substituindo na equação original, obtemos
Agrupando termos de
,
e constante, só sobra
logo
e
.
Passo 5
A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular. Assim,
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}x e{2x}+\frac{1}{4}x{2}e^{2x}