Explique por que os seguintes argumentos estão ERRADOS:
lim x 0(x^2 sen(1 / x))=(lim x 0 x^2)(lim x 0 sen(1 / x))=0 times lim x 0 sen(1 / x)=0.

Passo 1

O enunciado tenta calcular
limxto0x^2sinl(1/xr)
usando diretamente a propriedade de limites de produto, mas sem verificar as hipóteses necessárias.

Passo 2

A propriedade
limxto al[f(x),g(x)r] =l(limxto af(x)r),l(limxto ag(x)r)
só é válida se ambos limxto af(x) e limxto ag(x) existirem e forem finitos.

Passo 3

Aqui f(x)=x^2 satisfaz limxto0x^2=0. Mas g(x)=sin(1/x) não tem limite quando xto0, pois conforme x se aproxima de zero, 1/x varre todos os reais e sin(1/x) oscila entre -1 e 1. Por exemplo, nas sequências
xn=1pi2+2pi n e yn=13pi2+2pi n
temos sin(1/xn)=1 e sin(1/yn)=-1, mostrando que limxto0sin(1/x) não existe.

Passo 4

Como limxto0sin(1/x) não existe, não se pode usar
limxto0[x^2sin(1/x)] =l(limxto0x^2r),l(limxto0sin(1/x)r)
Esse passo é ilegal e faz o argumento falhar.

Passo 5

O cálculo correto usa o Teorema do Confronto. Como
-1<=sin(1/x)<=1,
segue
-x^2<= x^2sin(1/x)<= x^2
E como
limxto0-x^2=0 e limxto0x^2=0, pela aproximação por intervalo concluímos
limxto0x^2sin(1/x)=0

Resposta

O erro está em aplicar a regra do limite do produto sem que os limites individuais existam; especificamente, limxto0sin(1/x) não existe.

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