Resolva o problema de valor inicial abaixo por dois caminhos, considerando as propostas de solução
e
. Compare as soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai usar dois métodos diferentes: uma solução do tipo exponencial $ y(t) = e^{rt} $ e uma série de potências $ y(t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n t^{n} $. No final, vamos comparar as duas soluções para ver se elas combinam. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar a solução do tipo exponencial $ y(t) = e^{rt} $. Essa abordagem é útil porque transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para $ r $.
Substituindo $ y(t) = e^{rt} $ na equação $ y’’ + 2y = 0 $:
Então, a equação fica:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos:
Passo 3
Como $ r $ é imaginário, as soluções serão funções trigonométricas. A solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Dadas:
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
Então, $ C_1 = 0 $.
Agora, calculamos $ y’(t) $:
Aplicando $ y’(0) = 1 $:
Portanto, a solução específica é:
Passo 4
Agora, vamos resolver usando séries de potências. Supomos que:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação $ y’’ + 2y = 0 $:
Vamos alinhar os índices para combinar os termos. Fazendo a substituição $ m = n-2 $ na primeira soma:
Juntando as somas:
Para que isso seja válido para todo $ t $, cada coeficiente deve ser zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes. Agora, usamos as condições iniciais para encontrar $ c_0 $ e $ c_1 $.
Dadas $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $:
Agora, calculamos os próximos coeficientes:
Para $ m = 0 $:
Para $ m = 1 $:
Para $ m = 2 $:
Para $ m = 3 $:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes alternam entre zero e termos não nulos a cada passo ímpar.
Portanto, a série fica:
Isso corresponde à expansão em série de $ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\sqrt{2}, t) $, confirmando que as duas soluções coincidem.
Resposta
A solução da equação diferencial $ y’’ + 2y = 0 $ com condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $ é: