Resolva o problema de valor inicial abaixo por dois caminhos, considerando as propostas de solução y(t)=e^rt e y(t)=sumi=0^infty cn x^n. Compare as soluções.
y^prime prime+2 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai usar dois métodos diferentes: uma solução do tipo exponencial $ y(t) = e^{rt} $ e uma série de potências $ y(t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n t^{n} $. No final, vamos comparar as duas soluções para ver se elas combinam. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar a solução do tipo exponencial $ y(t) = e^{rt} $. Essa abordagem é útil porque transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para $ r $.
Substituindo $ y(t) = e^{rt} $ na equação $ y’’ + 2y = 0 $:
y(t) = e^rt
Então, a equação fica:
r
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos:
y(t) = e^rt

Passo 3

Como $ r $ é imaginário, as soluções serão funções trigonométricas. A solução geral da equação diferencial é:
r
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Dadas:
y(t) = C1 cos(raiz2, t) + C2 sin(raiz2, t)
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
C1
Então, $ C_1 = 0 $.
Agora, calculamos $ y’(t) $:
C2
Aplicando $ y’(0) = 1 $:
y(0) = 0 y'(0) = 1
Portanto, a solução específica é:
y(0)

Passo 4

Agora, vamos resolver usando séries de potências. Supomos que:
y(t) = sumn=0^infty cn t^n
Calculamos as derivadas:
y'(t) = sumn=1^infty n cn t^n-1 y''(t) = sumn=2^infty n(n-1) cn t^n-2
Substituindo na equação $ y’’ + 2y = 0 $:
y'' + 2y = 0
Vamos alinhar os índices para combinar os termos. Fazendo a substituição $ m = n-2 $ na primeira soma:
sumn=2^infty n(n-1) cn t^n-2 + 2 sumn=0^infty cn t^n = 0
Juntando as somas:
m = n-2
Para que isso seja válido para todo $ t $, cada coeficiente deve ser zero:
summ=0^infty (m+2)(m+1) cm+2 t^m + 2 summ=0^infty cm t^m = 0
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes. Agora, usamos as condições iniciais para encontrar $ c_0 $ e $ c_1 $.
Dadas $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $:
summ=0^infty [ (m+2)(m+1) cm+2 + 2 cm ] t^m = 0
Agora, calculamos os próximos coeficientes:
Para $ m = 0 $:
t
Para $ m = 1 $:
(m+2)(m+1) cm+2 + 2 cm = 0 cm+2 = -2(m+2)(m+1) cm
Para $ m = 2 $:
c0
Para $ m = 3 $:
c1
E assim por diante. Observamos que os coeficientes alternam entre zero e termos não nulos a cada passo ímpar.
Portanto, a série fica:
y(0) = 0
Isso corresponde à expansão em série de $ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\sqrt{2}, t) $, confirmando que as duas soluções coincidem.

Resposta

A solução da equação diferencial $ y’’ + 2y = 0 $ com condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $ é:
y'' + 2y = 0

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