Resolva equaçãoes exatos:
\quad\left(1+y^{2} \sin 2 x\right) \mathrm{d} x-2 y \cos ^{2} x \mathrm{~d} y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(1 + y^{2}\sin2x\bigr)\,dx \;-\; 2y\cos^{2}x\,dy \;=\; 0,
reconhecendo-a como uma equação exata (ou verificando se é). Vamos procurar uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = 1 + y^{2}\sin2x, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = -2y\cos^{2}x.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata conferindo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1 + y^{2}\sin2x\bigr) = 2y\sin2x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2y\cos^{2}x\bigr) = -2y\cdot\frac{d}{dx}(\cos^{2}x) = -2y\cdot(-\sin2x) = 2y\sin2x.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos \displaystyle M(x,y)=1 + y^{2}\sin2x em relação a x:
\psi(x,y) = \int\bigl(1 + y^{2}\sin2x\bigr)\,dx = x \;+\; y^{2}\!\int \sin2x\,dx = x - \frac{y^{2}}{2}\cos2x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos \psi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y)=-2y\cos^{2}x:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = -y\cos2x + h'(y) \stackrel!= -2y\cos^{2}x.
Usando \cos2x = 2\cos^{2}x - 1, temos
-y\bigl(2\cos^{2}x - 1\bigr) + h'(y) = -2y\cos^{2}x \;\Longrightarrow\; y + h'(y) = 0 \;\Longrightarrow\; h'(y) = -y.

Passo 5

Integramos h'(y)=-y em y:
h(y) = -\frac{y^{2}}{2} + C.
Logo a função potencial completa é
\psi(x,y) = x - \frac{y^{2}}{2}\cos2x \;-\;\frac{y^{2}}{2} \;=\; x - \frac{y^{2}}{2}\bigl(\cos2x + 1\bigr) + C.
Como \cos2x+1=2\cos^{2}x, obtemos
\psi(x,y) = x - y^{2}\cos^{2}x + C.

Resposta

x - y^{2}\cos^{2}x = C.

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