Problema 4 (2 pontos): Mostre que a equação tem pelo menos 2 soluções positivas
x^{2}-3+1 / x=0

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a equação
x^{2}-3+\frac{1}{x}=0
tem pelo menos duas soluções positivas. Vamos usar manipulação algébrica para transformar em uma equação polinomial e depois aplicar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raízes quando uma função contínua muda de sinal.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados de \,x^2-3+\frac{1}{x}=0 por x (considerando x>0), obtemos
x^3-3x+1=0.
Definimos
f(x)=x^3-3x+1,
cuja raiz positiva satisfaz a equação original.

Passo 3

A função f é polinomial, logo contínua em todo \mathbb{R}, em particular no intervalo [0,2]. Calculamos
f(0)=1>0,
f(1)=1-3+1=-1<0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e f(0)>0, f(1)<0, o Teorema do Valor Intermediário garante ao menos uma raiz x_1\in(0,1). Logo há uma solução positiva nessa faixa.

Passo 5

Calculamos também
f(2)=8-6+1=3>0.
Em [1,2] temos f(1)<0 e f(2)>0; pelo mesmo teorema surge outra raiz x_2\in(1,2).

Resposta

Logo, a equação \,x^{2}-3+\frac{1}{x}=0 possui pelo menos duas soluções positivas.

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