Problema 4 (2 pontos): Mostre que a equação tem pelo menos 2 soluções positivas
Passo 1
O enunciado pede mostrar que a equação
tem pelo menos duas soluções positivas. Vamos usar manipulação algébrica para transformar em uma equação polinomial e depois aplicar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raízes quando uma função contínua muda de sinal.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados de
por
(considerando
), obtemos
Definimos
cuja raiz positiva satisfaz a equação original.
Passo 3
A função
é polinomial, logo contínua em todo
, em particular no intervalo
. Calculamos
Passo 4
Como
é contínua em
e
,
, o Teorema do Valor Intermediário garante ao menos uma raiz
. Logo há uma solução positiva nessa faixa.
Passo 5
Calculamos também
Em
temos
e
; pelo mesmo teorema surge outra raiz
.
Resposta
Logo, a equação
possui pelo menos duas soluções positivas.