Resolva equaçãoes exatos:
\quad\left(2-9 x y^{2}\right) x \mathrm{~d} x+\left(4 y^{2}-6 x^{3}\right) y \mathrm{~d} y=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial da forma
M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y = 0
com
M(x,y) = \bigl(2 - 9xy^2\bigr)x, \quad N(x,y) = \bigl(4y^2 - 6x^3\bigr)y.
O conteúdo é de equações exatas: primeiro verificamos se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
depois achamos a função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para checar exatidão:
M(x,y) = 2x - 9x^2y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y} = -18x^2y,
N(x,y) = 4y^3 - 6x^3y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -18x^2y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -18x^2y = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(2x - 9x^2y^2\bigr)\,\mathrm{d}x = x^2 - 3x^3y^2 + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Impondo \partial \Psi/\partial y = N:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = -6x^3y + h'(y) \overset{!}{=} 4y^3 - 6x^3y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 4y^3.
Integramos h'(y):
h(y) = \int 4y^3\,\mathrm{d}y = y^4 + C_1.
Logo
\Psi(x,y) = x^2 - 3x^3y^2 + y^4 + C_1.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2 - 3x^3y^2 + y^4 = C,
com C constante de integração.

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