Resolva equaçãoes exatos:
(x+\operatorname{sen} y) d x+(x \cos y+\operatorname{sen} y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(x + \sin y)\,dx + \bigl(x\cos y + \sin y\bigr)\,dy = 0.
Isso é um caso de equação exata, em que identificamos
M(x,y) = x + \sin y, \quad N(x,y) = x\cos y + \sin y.
Para resolver, vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x = M e \partial\Psi/\partial y = N.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, comparando
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + \sin y) = \cos y,
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y + \sin y\bigr) = \cos y,
temos \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, logo a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (x + \sin y)\,dx = \int x\,dx + \int \sin y\,dx = \frac{x^2}{2} + x\sin y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Para determinar h(y), calculamos \partial\Psi/\partial y e igualamos a N:
\frac{\partial\Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^2}{2} + x\sin y + h(y)\Bigr) = x\cos y + h'(y).
Como isso deve ser igual a N(x,y)=x\cos y + \sin y, obtemos
h'(y) = \sin y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -\cos y + C_1.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, a função potencial fica
\Psi(x,y) = \frac{x^2}{2} + x\sin y - \cos y + C_1.
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\Psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^2}{2} + x\sin y - \cos y = C.

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