Uma superfície S é representada pela equação vetorial \vec{r}(u, v)=\cos v \vec{i}+\operatorname{sen} v \vec{j}+u \vec{k}, 0 \leq u \leq 4, 0 \leq v \leq 2 \pi.
a) Mostrar que S é uma parte de uma superfície de revolução.
b) Determinar a área de S.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
\vec r(u,v)=\cos v\,\vec i+\sin v\,\vec j+u\,\vec k, \quad 0\le u\le4,\;0\le v\le2\pi
e pede:
a) mostrar que S é parte de uma superfície de revolução;
b) calcular a área de S.
Para isso vamos usar a ideia de que, se ao eliminar os parâmetros aparece uma equação do tipo x^2+y^2=R^2, trata-se de um cilindro de revolução; e para a área vamos aplicar a fórmula
\text{Área}(S) =\iint_{D}\bigl\|\vec r_u\times\vec r_v\bigr\|\,du\,dv.Á

Passo 2

Mostramos que S é parte de um cilindro de revolução em torno do eixo z. Das componentes da parametrização temos
x(u,v)=\cos v,\quad y(u,v)=\sin v,
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x^2+y^2=\cos^2v+\sin^2v=1.
Isto é a equação de um cilindro de raio 1 em torno do eixo z, obtido pela revolução da reta \{(1,0,u)\mid0\le u\le4\} em torno do eixo z.

Passo 3

Para calcular a área precisamos de \vec r_u e \vec r_v. Derivando:
\vec r_u=(0,0,1),\quad \vec r_v=(-\sin v,\cos v,0).
O produto vetorial é
\vec r_u\times\vec r_v =(0,0,1)\times(-\sin v,\cos v,0) =(-\cos v,\,-\sin v,\,0),
cuja norma é
\bigl\|\vec r_u\times\vec r_v\bigr\| =\sqrt{(-\cos v)^2+(-\sin v)^2} =1.

Passo 4

Agora integramos sobre o domínio (u,v)\in[0,4]\times[0,2\pi]:
\text{Área}(S) =\int_{u=0}^{4}\int_{v=0}^{2\pi}1\,dv\,du =\bigl(2\pi\bigr)\times4 =8\pi.Á

Resposta

A superfície S é um cilindro de revolução de raio 1 e altura 4.
A área de S é 8\pi.

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