Resolva as equações:
.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - 1x,y = -x
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem do tipo y' + p(x),y = q(x). Vamos usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Identificamos as funções do formato padrão:
p(x) = -1x, q(x) = -x
Em toda equação linear y' + p(x)y = q(x) precisamos dessas duas funções.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) que satisfaz
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x:
1xy' - 1x^2y = -1
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do quociente:
ddxl(yxr) = 1xy' - 1x^2y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr),dx = integral (-1),dx Longrightarrow yx = -x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando ambos os lados por x:
y = -x^2 + Cx

Resposta

y(x) = -x^2 + Cx

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