Resolva as equações:
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Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear y' - tfrac4xy = x^5e^x. O conteúdo aqui é o método do fator integrante, e vamos precisar lembrar como achar esse fator e usar integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato padrão y' + P(x)y = Q(x). Aqui P(x) = -tfrac4x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-4integral 1xdx = e^-4ln x = x^-4

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-4. Assim:
x^-4y' - 4x^-5y = x^5e^xcdot x^-4 = x e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^-4y, ou seja,
ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Do lado direito precisamos de integração por partes em integral x e^x,dx. Seja u = x, dv = e^x dx, então du = dx e v = e^x. Logo
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C
Portanto
x^-4y = (x-1)e^x + C

Passo 5

Por fim, isolamos y multiplicando por x^4:
y = x^4l((x-1)e^x + Cr) = x^4(x-1)e^x + Cx^4

Resposta

y(x) = x^4(x - 1)e^x + Cx^4

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