Resolva as equações:

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma EDO linear de primeira ordem: y'+2yx=cos xx^2. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro a gente coloca a equação no formato padrão y'+P(x)y=Q(x). Aqui temos P(x)=2x e Q(x)=cos xx^2.
Em seguida calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 2x,dx=e^2ln x=x^2.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^2, obtendo
x^2y'+2xy=cos x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, isto é,
ddxl(x^2yr)=cos x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=integralcos x,dx=sin x+C,
em que C é a constante de integração. Por fim, isolamos y:
$$y=\frac{\sin x+C}{x^2}.
$$

Resposta

y=dfracsin x+Cx^2

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