Resolva as equações:

Passo 1

A equação dada é y' - tfracyx = tfrac1x^2. Estamos em EDOs de primeira ordem, mais especificamente uma equação linear do tipo y' + P(x)y = Q(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Aqui temos:
P(x) = -1x,
Q(x) = 1x^2

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante mu(x), que é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -tfrac1x ,dx = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=tfrac1x, obtendo:
1xy' - 1x^2y = 1x^3
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto ycdottfrac1x. Ou seja,
ddxl(yxr) = 1x^3

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr),dx = integral x^-3 ,dx
yx = -12x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y = xl(-12x^2 + Cr) = -12x + Cx
Essa é a solução geral da EDO.

Resposta

y = Cx - \tfrac{1}{2x}

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