Considere a seguinte função de duas variáveis:
Esboce um mapa de contornos para
, mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar um mapa de contornos para a função de duas variáveis $ z = f(x, y) = \sqrt{x^{2} + 3y^{2}} $. Isso faz parte do conteúdo de funções de várias variáveis e gráficos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e desenhar curvas de nível, que são as curvas onde a função assume valores constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função $ z = f(x, y) $, uma curva de nível para um valor constante $ k $ é o conjunto de pontos $ (x, y) $ onde $ f(x, y) = k $. No nosso caso, queremos encontrar essas curvas para diferentes valores de $ k $.
Passo 3
Vamos começar definindo a equação da curva de nível. Temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 4
Agora, essa equação representa uma elipse no plano $ xy $. Por quê? Porque a equação geral de uma elipse é:
Comparando com a nossa equação $ x^{2} + 3y^{2} = k^{2} $, podemos reescrever como:
Então, temos $ a^{2} = k^{2} $ e $ b^{2} = \frac{k^{2}}{3} $, o que confirma que são elipses.
Passo 5
Vamos desenhar algumas dessas elipses para diferentes valores de $ k $. Por exemplo, vamos escolher $ k = 1, 2, 3 $. Para cada $ k $:
-
Quando $ k = 1 $:
-
Quando $ k = 2 $:
-
Quando $ k = 3 $:
Cada uma dessas equações representa uma elipse maior à medida que $ k $ aumenta.
Passo 6
Para esboçar o mapa de contornos:
- Desenhe o eixo $ x $ e o eixo $ y $ no plano.
- Para cada valor de $ k $, desenhe a elipse correspondente.
- A elipse mais interna corresponde ao menor valor de $ k $.
- As elipses se expandem à medida que $ k $ aumenta.
- Certifique-se de que todas as elipses estejam centradas na origem $ (0, 0) $ e que a escala no eixo $ y $ seja ajustada devido ao coeficiente 3 em $ y^{2} $.
Resposta
O mapa de contornos para a função $ z = \sqrt{x^{2} + 3y^{2}} $ consiste em uma série de elipses centradas na origem, onde cada elipse corresponde a um valor constante de $ z $. À medida que $ z $ aumenta, as elipses se expandem, mantendo a forma alongada devido ao coeficiente 3 em $ y^{2} $. Assim, esboçamos várias curvas de nível para diferentes valores de $ z $, formando o mapa de contornos solicitado.