Para quais valores de c in Z a equação 90 x+28 y=c não possui soluções? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de cinZ a equação diofantina
90x + 28y = c
não tem solução inteira. Este é um problema de equação linear diofantina, em que vamos usar o critério de existência de solução baseado no máximo divisor comum.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum de 90 e 28. Por Euclides:
gcd(90,28) = gcd(28,,90 bmod 28) = gcd(28,,6) = gcd(6,,28 bmod 6) = gcd(6,,4) = gcd(4,,6 bmod 4) = gcd(4,,2) = gcd(2,,4 bmod 2) = gcd(2,,0) =2

Passo 3

O teorema das equações diofantinas lineares diz que
ax + by = c
tem solução inteira se, e somente se, gcd(a,b) divide c. Aqui a=90, b=28 e gcd(90,28)=2.

Passo 4

Portanto existem soluções inteiras apenas quando 2 divide c, isto é, quando c é par. Logo, se c for ímpar, não há solução na equação 90x+28y=c.

Resposta

A equação não possui solução inteira exatamente para todos os cinZ ímpares.

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