Resolva as equações:
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação com radical 2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x. O conteúdo é resolução de equações racionais envolvendo radical, e vamos precisar usar domínio de definição, soma de frações e resolução de polinômio.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio. Como temos raiz2 - x^2, precisamos de
2 - x^2 >= 0
ou seja -raiz2 <= x <= raiz2. Além disso, os denominadores não podem ser zero, então
x pm raiz2 - x^2 neq 0

Passo 3

Para simplificar, note que
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2 =2(x-raiz2-x^2)+2(x+raiz2-x^2)(x+raiz2-x^2)(x-raiz2-x^2)
No numerador fica 4x, e no denominador
(x+raiz2-x^2)(x-raiz2-x^2)=x^2-(2-x^2)=2(x^2-1)
Então a equação vira
4x2(x^2-1)=x
ou seja
2xx^2-1=x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^2-1 (lembrando de excluir x=pm1 pois anula o denominador), obtemos
2x=x(x^2-1)=x^3-x
que leva a
x^3-3x=0
ou
x(x^2-3)=0
Assim, as raízes candidatas são x=0 e x=pmraiz3.

Passo 5

Por fim, conferimos com o domínio: só x=0 está em [-raiz2,raiz2]. Os valores pmraiz3 excedem raiz2 e ainda violam o domínio. Além disso, em x=0 os denominadores são pmraiz2, não nulos. Portanto a única solução válida é x=0.

Resposta

x=0

Exercícios relacionados