Resolva as equações: (3pts)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos
tais que
Informações dadas e hipóteses implícitas:
é um número complexo que podemos escrever como
com
. Não há outras restrições; portanto precisamos encontrar todas as soluções complexas.
Passo 2
Vamos escrever
em termos de
e
. Para isso uso a definição exponencial da função seno:
Tomando
e separando parte real e imaginária (fazendo as contas com exponenciais), obtém-se a fórmula padrão
Aqui explico o significado de cada função:
-
e são as funções trigonométricas usuais do real . -
e são as funções hiperbólicas definidas por e .
Passo 3
Agora igualamos
ao valor pedido
. Escrevendo ambos os lados em partes real e imaginária:
Comparando partes reais e imaginárias obtemos o sistema
Passo 4
Analiso a primeira equação
. Como
para todo
, temos
. Logo a única forma de a igualdade ocorrer é
As soluções reais de
são
Passo 5
Substituo
na segunda equação. Lembro que
. Então a segunda equação fica
Isolando
,
Passo 6
Agora resolvo a equação hiperbólica
. Primeiro recordo a definição
. Para
faço:
Seja
. A equação em
é
, cujas raízes são
. Como
tomamos
. Assim
e
Para
obtemos simetricamente
.
Passo 7
Voltando à nossa condição
, concluímos:
- se
(ou seja, ímpar), então ; - se
(ou seja, par), então .
Podemos escrever isso de maneira compacta como
Passo 8
Portanto todas as soluções complexas
são da forma
Para visualizar: para
(par) temos
; para
(ímpar) temos
.