Resolva as equações: (3pts)
\operatorname{sen}(z)=-i

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos z tais que
\sin(z) = -i.
Informações dadas e hipóteses implícitas: z é um número complexo que podemos escrever como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Não há outras restrições; portanto precisamos encontrar todas as soluções complexas.

Passo 2

Vamos escrever \sin(z) em termos de x e y. Para isso uso a definição exponencial da função seno:
\sin(w)=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}.
Tomando w=z=x+iy e separando parte real e imaginária (fazendo as contas com exponenciais), obtém-se a fórmula padrão
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Aqui explico o significado de cada função:
  • \sin x e \cos x são as funções trigonométricas usuais do real x.
  • \operatorname{sinh} y e \operatorname{cosh} y são as funções hiperbólicas definidas por \operatorname{sinh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2} e \operatorname{cosh} y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2}.

Passo 3

Agora igualamos \sin(x+iy) ao valor pedido -i. Escrevendo ambos os lados em partes real e imaginária:
\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y = 0 - i.
Comparando partes reais e imaginárias obtemos o sistema
\sin x\operatorname{cosh} y = 0,
\cos x\operatorname{sinh} y = -1.

Passo 4

Analiso a primeira equação \sin x\operatorname{cosh} y = 0. Como \operatorname{cosh} y\ge 1 para todo y\in\mathbb{R}, temos \operatorname{cosh} y\neq 0. Logo a única forma de a igualdade ocorrer é
\sin x = 0.
As soluções reais de \sin x=0 são
x = n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Substituo x=n\pi na segunda equação. Lembro que \cos(n\pi)=(-1)^n. Então a segunda equação fica
(-1)^n \operatorname{sinh} y = -1.
Isolando \operatorname{sinh} y,
\operatorname{sinh} y = -(-1)^n = (-1)^{n+1}.

Passo 6

Agora resolvo a equação hiperbólica \operatorname{sinh} y = \pm 1. Primeiro recordo a definição \operatorname{sinh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}. Para \operatorname{sinh} y = 1 faço:
\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}-2e^{y}-1=0.
Seja t=e^{y}>0. A equação em t é t^{2}-2t-1=0, cujas raízes são t=1\pm\sqrt{2}. Como t>0 tomamos t=1+\sqrt{2}. Assim e^{y}=1+\sqrt{2} e
y=\ln(1+\sqrt{2}).
Para \operatorname{sinh} y = -1 obtemos simetricamente y=-\ln(1+\sqrt{2}).

Passo 7

Voltando à nossa condição \operatorname{sinh} y = (-1)^{n+1}, concluímos:
  • se (-1)^{n+1}=1 (ou seja, n ímpar), então y=\ln(1+\sqrt{2});
  • se (-1)^{n+1}=-1 (ou seja, n par), então y=-\ln(1+\sqrt{2}).
Podemos escrever isso de maneira compacta como
y = (-1)^{n+1}\ln(1+\sqrt{2}).

Passo 8

Portanto todas as soluções complexas z são da forma
z = n\pi + i\,(-1)^{n+1}\ln(1+\sqrt{2}),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Para visualizar: para n=2k (par) temos z=2k\pi - i\ln(1+\sqrt{2}); para n=2k+1 (ímpar) temos z=(2k+1)\pi + i\ln(1+\sqrt{2}).

Resposta

z = n\pi + i(-1)^{n+1}\ln(1+\sqrt{2}),\qquad n\in\mathbb{Z}.

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