Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais, aplicando um método iterativo:
\int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} d x(3 subintervalos )

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma aproximação numérica da integral
\int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
usando 3 subintervalos. Informações relevantes dadas:
a=2,\qquad b=5,\qquad n=3,\qquad f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Não há figura. A integral deve ser aproximada usando um método de integração numérica compatível com n=3.

Passo 2

Escolha do método: como temos exatamente n=3 subintervalos, um método natural é a regra de Simpson 3/8 (regra de Newton–Cotes de grau 3), porque ela requer precisamente 3 subintervalos (ou um número múltiplo de 3) para aplicar um único painel. Vou usar a regra de Simpson 3/8 porque é simples, dá boa precisão e encaixa exatamente em n=3.

Passo 3

Apresentando a fórmula da regra de Simpson 3/8 (para um painel com n=3 subintervalos e passo h):
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr],
onde x_i=a+ih e h=(b-a)/3.
Explicação breve da fórmula: é uma regra de Newton–Cotes que interpola f por um polinômio cúbico passando por quatro pontos igualmente espaçados; os coeficientes 1,3,3,1 e o fator \tfrac{3h}{8} vêm da integração exata desse polinômio cúbico.

Passo 4

Calcular o passo h e os nós x_i:
h=\frac{b-a}{3}=\frac{5-2}{3}=1.
Portanto os nós são
x_0=2,\quad x_1=3,\quad x_2=4,\quad x_3=5.

Passo 5

Avaliar f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} nos nós (vou mostrar os valores exatos em raiz e depois valores decimais úteis para cálculo manual):
f(x_0)=f(2)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad f(x_1)=f(3)=\frac{1}{\sqrt{3}},
f(x_2)=f(4)=\frac{1}{2}, \qquad f(x_3)=f(5)=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Agora valores decimais (aproximações padrão de radicais, você pode calcular similarmente na prova):
\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071067812, \quad \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}5773502692,
\frac{1}{2}=0{,}5, \quad \frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}4472135955.

Passo 6

Montar a soma com os pesos da regra:
S=f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3).
Substituindo os valores decimais:
S\approx 0{,}7071067812 + 3\cdot 0{,}5773502692 + 3\cdot 0{,}5 + 0{,}4472135955.
Calcule passo a passo:
3\cdot 0{,}5773502692 \approx 1{,}7320508076, \qquad 3\cdot 0{,}5 = 1{,}5,
S\approx 0{,}7071067812 + 1{,}7320508076 + 1{,}5 + 0{,}4472135955 \approx 4{,}3863711843.

Passo 7

Aplicar a fórmula com h=1:
\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \approx \frac{3h}{8}S = \frac{3\cdot 1}{8}\cdot S = \frac{3}{8}\,S.
Substituindo S\approx 4{,}3863711843:
\frac{3}{8}\cdot 4{,}3863711843 \approx 0{,}375\cdot 4{,}3863711843 \approx 1{,}6448891941.

Passo 8

Verificação e interpretação: podemos verificar rapidamente o valor exato da integral para ter uma ideia do erro (isso apenas para estudo; na prova normalmente só pedem a aproximação). A integral exata é
\int_{2}^{5} x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x}\Big|_{2}^{5} = 2(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \approx 1{,}6437088303.
Comparando, a aproximação pela regra 3/8 é 1{,}6448891941, com erro aproximado 1{,}6448891941-1{,}6437088303\approx 0{,}0011803638, ou cerca de 1{,}2\times 10^{-3}. Isso mostra que a regra 3/8 foi bem precisa aqui.

Resposta

1{,}6448891941

Exercícios relacionados