Resolva as equações abaixo:
(b) 16^{2 x^{2}-1}=8^{6 x+2} cdot 64^{x+1} cdot 4^{4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação abaixo em x:
16^{2 x^{2}-1}=8^{6 x+2}\cdot 64^{x+1}\cdot 4^{4 x^{2}}.
Informações relevantes dadas: as bases são 16, 8, 64 e 4. Não há outras restrições explícitas; devemos encontrar os valores de x que tornam verdadeira essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever todas as bases como potência de uma mesma base para facilitar a comparação. Aqui é natural usar a base 2, porque
16=2^{4},\qquad 8=2^{3},\qquad 64=2^{6},\qquad 4=2^{2}.
Vou usar duas propriedades de potências que são fundamentais:
  1. (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}. Isso transforma potência de potência multiplicando expoentes.
  2. a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Isso permite somar expoentes quando multiplicamos potências da mesma base.
    Vou aplicar essas propriedades para reescrever ambos os lados com base 2.

Passo 3

Aplicando (a^{b})^{c}=a^{bc} a cada fator:
16^{2 x^{2}-1}=(2^{4})^{2 x^{2}-1}=2^{4(2 x^{2}-1)}.
8^{6 x+2}=(2^{3})^{6 x+2}=2^{3(6 x+2)}.
64^{x+1}=(2^{6})^{x+1}=2^{6(x+1)}.
4^{4 x^{2}}=(2^{2})^{4 x^{2}}=2^{2\cdot 4 x^{2}}=2^{8 x^{2}}.

Passo 4

Agora substituo essas expressões na equação original. O lado esquerdo fica
2^{4(2 x^{2}-1)}=2^{8 x^{2}-4}.
O lado direito é o produto das três potências com base 2; usando a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} somamos os expoentes:
8^{6 x+2}\cdot 64^{x+1}\cdot 4^{4 x^{2}}=2^{3(6 x+2)}\cdot 2^{6(x+1)}\cdot 2^{8 x^{2}}.
Calculando cada expoente separadamente:
3(6 x+2)=18 x+6,
6(x+1)=6 x+6,
então o expoente total do lado direito é
(18 x+6)+(6 x+6)+(8 x^{2})=8 x^{2}+24 x+12.
Portanto a equação vira
2^{8 x^{2}-4}=2^{8 x^{2}+24 x+12}.

Passo 5

Como ambas as potências têm a mesma base 2 e 2 é positiva e diferente de 1, podemos igualar diretamente os expoentes (propriedade: se a>0, a\neq1 e a^{u}=a^{v} então u=v). Assim:
8 x^{2}-4=8 x^{2}+24 x+12.
Agora simplificamos: subtraímos 8 x^{2} dos dois lados para eliminar os termos quadráticos:
-4=24 x+12.
Passo a passo isolando x: subtrai-se 12 de ambos os lados:
-4-12=24 x \quad\Rightarrow\quad -16=24 x.
Dividindo por 24:
x=\dfrac{-16}{24}=\dfrac{-2}{3}.

Passo 6

Vamos checar rapidamente (ajuda a ganhar confiança na resposta): substituindo x=-\tfrac{2}{3} nos expoentes já simplificados — o lado esquerdo tem expoente 8 x^{2}-4 e o direito 8 x^{2}+24 x+12. Calculando x^{2}=(\tfrac{2}{3})^{2}=\tfrac{4}{9}:
8 x^{2}-4=8\cdot \tfrac{4}{9}-4=\tfrac{32}{9}-4=\tfrac{32-36}{9}=\tfrac{-4}{9},
8 x^{2}+24 x+12=8\cdot \tfrac{4}{9}+24\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+12=\tfrac{32}{9}-16+12=\tfrac{32}{9}-4=\tfrac{32-36}{9}=\tfrac{-4}{9}.
Os expoentes coincidem, logo a igualdade é satisfeita. Checagem OK.

Resposta

x=-\dfrac{2}{3}

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