Resolva as equações abaixo:(4pt)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e observações iniciais que importam para a resolução:
- A incógnita é
. - Como aparecem logaritmos, os argumentos devem ser positivos:
e . - Da condição
segue que . A condição dá , que é menos restritiva que . Portanto o domínio válido é . - O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando propriedades básicas de logaritmos (aqui eu explico devagar, como se fosse uma receita):
- Regra 1: um fator multiplicativo antes do logaritmo vira potência no argumento:
No nosso caso - Regra 2: soma de logaritmos na mesma base vira logaritmo do produto:
Aplicando aqui,
Passo 3
Substituindo na equação original obtemos
Agora usamos a definição de logaritmo:
significa
. Então
Portanto a equação equivalente, sem logaritmos, é
sujeita a
.
Passo 4
Para resolver
fazemos uma substituição útil para eliminar a raiz e obter um polinômio:
- Seja
. Então (porque implica ). - Da definição de
temos , logo .
Substituindona equação original transformada:
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando:
ou seja
Assim reduzimos o problema a resolver o polinômio cúbico
com
.
Passo 5
Analisando o cúbico para saber quantas soluções positivas ele tem (isso evita perder raízes ou inventar extraneous solutions):
- A derivada é
. Para temos . Portanto é estritamente crescente para . - Como
é contínua e estritamente crescente em , ela tem no máximo uma raiz em . Portanto haverá exatamente uma solução , e consequentemente exatamente uma solução .
Não esperamos fatoração simples com raízes racionais, então vamos aproximar numericamente essa raiz.
Passo 6
Vou usar o método de Newton para achar numericamente a raiz positiva de
, e depois devolver
por
.
- Fórmula de Newton para
: , com e . - Escolhemos uma aproximação inicial razoável; observando que
e , tomo .
Cálculos (vou mostrar as contas aproximadas):
-
.
- Avaliando novamente e aplicando Newton outra vez (resumo das contas):
Assim obtemos
.
Passo 7
Voltando para
com
:
Usando a mesma raiz com maior precisão (as iterações do Newton convergem rápido), obtemos a solução numérica final
(aproximação com 4 casas decimais). Essa
está no domínio
e volta a satisfazer a equação original porque reconstruímos a solução a partir da equivalência logarítmica.