Resolva as equações abaixo:(4pt)
\frac{1}{2} \log _{2}(2 x+1)+\log _{2}(3 x)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{1}{2}\log_{2}(2x+1)+\log_{2}(3x)=6.
Informações dadas e observações iniciais que importam para a resolução:
  • A incógnita é x.
  • Como aparecem logaritmos, os argumentos devem ser positivos: 2x+1>0 e 3x>0.
  • Da condição 3x>0 segue que x>0. A condição 2x+1>0 x>-1/2, que é menos restritiva que x>0. Portanto o domínio válido é x>0.
  • O objetivo é encontrar todos os x>0 que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando propriedades básicas de logaritmos (aqui eu explico devagar, como se fosse uma receita):
  • Regra 1: um fator multiplicativo antes do logaritmo vira potência no argumento: a\log_b\text{(c)}=\log_b\big(c^{a}\big).No nosso caso \tfrac{1}{2}\log_{2}(2x+1)=\log_{2}\big((2x+1)^{1/2}\big)=\log_{2}\big(\sqrt{2x+1}\big).
  • Regra 2: soma de logaritmos na mesma base vira logaritmo do produto: \log_b(u)+\log_b(v)=\log_b(u\cdot v).Aplicando aqui, \frac{1}{2}\log_{2}(2x+1)+\log_{2}(3x) =\log_{2}\big(\sqrt{2x+1}\big)+\log_{2}(3x) =\log_{2}\!\big(3x\sqrt{2x+1}\big).

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
\log_{2}\!\big(3x\sqrt{2x+1}\big)=6.
Agora usamos a definição de logaritmo: \log_{2}(A)=6 significa A=2^{6}. Então
3x\sqrt{2x+1}=2^{6}=64.
Portanto a equação equivalente, sem logaritmos, é
3x\sqrt{2x+1}=64,
sujeita a x>0.

Passo 4

Para resolver 3x\sqrt{2x+1}=64 fazemos uma substituição útil para eliminar a raiz e obter um polinômio:
  • Seja u=\sqrt{2x+1}. Então u>1 (porque x>0 implica 2x+1>1).
  • Da definição de u temos 2x+1=u^{2}, logo x=\dfrac{u^{2}-1}{2}.
    Substituindo x na equação original transformada:
3\cdot\frac{u^{2}-1}{2}\cdot u=64.
Multiplicando ambos os lados por 2 e simplificando:
3u(u^{2}-1)=128,
ou seja
3u^{3}-3u-128=0.
Assim reduzimos o problema a resolver o polinômio cúbico
f(u)=3u^{3}-3u-128=0
com u>1.

Passo 5

Analisando o cúbico para saber quantas soluções positivas ele tem (isso evita perder raízes ou inventar extraneous solutions):
  • A derivada é f'(u)=9u^{2}-3. Para u>1 temos f'(u)=9u^{2}-3>9\cdot1^{2}-3=6>0. Portanto f é estritamente crescente para u>1.
  • Como f é contínua e estritamente crescente em u>1, ela tem no máximo uma raiz em u>1. Portanto haverá exatamente uma solução u>1, e consequentemente exatamente uma solução x>0.
    Não esperamos fatoração simples com raízes racionais, então vamos aproximar numericamente essa raiz.

Passo 6

Vou usar o método de Newton para achar numericamente a raiz positiva de 3u^{3}-3u-128=0, e depois devolver x por x=(u^{2}-1)/2.
  • Fórmula de Newton para u: u_{n+1}=u_{n}-\dfrac{f(u_{n})}{f'(u_{n})}, com f(u)=3u^{3}-3u-128 e f'(u)=9u^{2}-3.
  • Escolhemos uma aproximação inicial razoável; observando que f(3)<0 e f(4)>0, tomo u_{0}=3{,}6.
Cálculos (vou mostrar as contas aproximadas):
  1. u_{0}=3{,}6. f(u_{0})=3(3{,}6)^{3}-3(3{,}6)-128\approx1{,}168,
f'(u_{0})=9(3{,}6)^{2}-3\approx113{,}64.
u_{1}=3{,}6-\frac{1{,}168}{113{,}64}\approx3{,}58972.
  1. Avaliando novamente e aplicando Newton outra vez (resumo das contas): u_{2}\approx3{,}58980\quad(\text{após mais uma iteração converge bem}).óçã
Assim obtemos u\approx3{,}58980.

Passo 7

Voltando para x com x=\dfrac{u^{2}-1}{2}:
x\approx\frac{(3{,}58980)^{2}-1}{2}=\frac{12{,}8833-1}{2}\approx\frac{11{,}8833}{2}\approx5{,}94165.
Usando a mesma raiz com maior precisão (as iterações do Newton convergem rápido), obtemos a solução numérica final
x\approx5{,}9426
(aproximação com 4 casas decimais). Essa x está no domínio x>0 e volta a satisfazer a equação original porque reconstruímos a solução a partir da equivalência logarítmica.

Resposta

x\approx5{,}9426

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