Resolva as equações abaixo:(4pt)
4^{4 x^{2}-2}=8^{6 x+2} \cdot 64^{x+1} \cdot 4^{4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4^{4 x^{2}-2}=8^{6 x+2}\cdot 64^{x+1}\cdot 4^{4 x^{2}}.
Informações dadas:
  • Há potências com bases 4, 8 e 64.
  • A incógnita é x.
  • Queremos todas as soluções reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos lembrar e usar regras básicas de potências (aquelas que sempre salvam em prova). Eu explico com calma:
  • Regra “potência de potência”: \,(a^b)^c = a^{b\cdot c}. Significa que, ao ter uma potência elevada a outra potência, multiplicamos os expoentes.
    Exemplo simples: (3^2)^3 = 3^{2\cdot3} = 3^6.
  • Regra “produto de potências de mesma base”: \,a^m\cdot a^n = a^{m+n}. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes.
    Exemplo simples: 2^3\cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7.
  • Regra para comparar potências: se a>0 e a\neq1, então a^A=a^B implica A=B. Ou seja, igualdade de potências da mesma base (não trivial) implica igualdade dos expoentes.
Vamos aplicar essas regras ao problema, transformando tudo para uma mesma base para poder comparar os expoentes.

Passo 3

Escolhemos a base 2 porque 4, 8 e 64 são potências de 2:
4=2^2,\qquad 8=2^3,\qquad 64=2^6.
Agora aplicamos a regra “potência de potência” para cada termo.
Para o lado esquerdo:
4^{4x^2-2}=(2^2)^{4x^2-2}=2^{2(4x^2-2)}=2^{8x^2-4}.

Passo 4

Agora transformamos cada fator do lado direito:
8^{6x+2}=(2^3)^{6x+2}=2^{3(6x+2)}=2^{18x+6},
64^{x+1}=(2^6)^{x+1}=2^{6(x+1)}=2^{6x+6},
4^{4x^2}=(2^2)^{4x^2}=2^{8x^2}.
Como no lado direito há um produto dessas potências com a mesma base 2, usamos a regra do produto (somar expoentes):
8^{6x+2}\cdot 64^{x+1}\cdot 4^{4x^2} =2^{18x+6}\cdot 2^{6x+6}\cdot 2^{8x^2} =2^{(18x+6)+(6x+6)+8x^2}.
Somando os termos do expoente obtemos
(18x+6)+(6x+6)+8x^2 = 8x^2 +24x +12.
Portanto o lado direito vira
2^{8x^2+24x+12}.

Passo 5

Agora a equação ficou
2^{8x^2-4}=2^{8x^2+24x+12}.
Como 2>0 e 2\neq1, se duas potências de base 2 são iguais, os expoentes têm que ser iguais. Assim:
8x^2-4 = 8x^2 + 24x + 12.

Passo 6

Simplificamos a igualdade dos expoentes. Subtraímos 8x^2 de ambos os lados (isso cancela os termos quadráticos):
-4 = 24x + 12.
Agora isolamos x. Subtraindo 12 de ambos os lados:
-4 - 12 = 24x \quad\Rightarrow\quad -16 = 24x.
Dividindo por 24:
x = \frac{-16}{24} = -\frac{2}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): com x=-\tfrac{2}{3},
x^2=\left(-\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.
O expoente do lado esquerdo é
8x^2-4 = 8\cdot\tfrac{4}{9}-4 = \tfrac{32}{9}-\tfrac{36}{9}=-\tfrac{4}{9}.
O expoente do lado direito é
8x^2+24x+12 = \tfrac{32}{9}+24\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+12 = \tfrac{32}{9}-16+12 = \tfrac{32}{9}-\tfrac{36}{9}=-\tfrac{4}{9},
os dois coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

x=-\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados