Resolva as equações abaixo:(4pt)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas:
- Há potências com bases
, e . - A incógnita é
. - Queremos todas as soluções reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos lembrar e usar regras básicas de potências (aquelas que sempre salvam em prova). Eu explico com calma:
- Regra “potência de potência”:
. Significa que, ao ter uma potência elevada a outra potência, multiplicamos os expoentes.
Exemplo simples:. - Regra “produto de potências de mesma base”:
. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes.
Exemplo simples:. - Regra para comparar potências: se
e , então implica . Ou seja, igualdade de potências da mesma base (não trivial) implica igualdade dos expoentes.
Vamos aplicar essas regras ao problema, transformando tudo para uma mesma base para poder comparar os expoentes.
Passo 3
Escolhemos a base
porque
,
e
são potências de
:
Agora aplicamos a regra “potência de potência” para cada termo.
Para o lado esquerdo:
Passo 4
Agora transformamos cada fator do lado direito:
Como no lado direito há um produto dessas potências com a mesma base
, usamos a regra do produto (somar expoentes):
Somando os termos do expoente obtemos
Portanto o lado direito vira
Passo 5
Agora a equação ficou
Como
e
, se duas potências de base
são iguais, os expoentes têm que ser iguais. Assim:
Passo 6
Simplificamos a igualdade dos expoentes. Subtraímos
de ambos os lados (isso cancela os termos quadráticos):
Agora isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 7
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): com
,
O expoente do lado esquerdo é
O expoente do lado direito é
os dois coincidem, logo a solução está correta.