Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos: (2pt)
Passo 1
O enunciado pede que eu “desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão abaixo; ou seja, simplificar e escrever o logaritmo separado em termos mais simples usando as regras de log:
Informações/dados que temos (explicitando o que aparece no enunciado):
- A expressão dentro do log é
. - Existem radicais:
e . - Há um número
no denominador. - Presumo, como sempre que trabalhamos com logaritmos, que as variáveis envolvidas permitam o logaritmo:
, , .
Nada mais será pedido além de aplicar propriedades de log para “desenvolver” essa expressão.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever radicais como potências racionais e reconhecer potências de números inteiros.
-
Explicação curta: a raiz quadrada equivale ao expoente. -
-
Substituindo esses na expressão interior do log obtemos:
Passo 3
Agora simplifico as potências de
e
dividindo expoentes (regra de potências:
).
- Para
: expoente no numerador é , no denominador é . Então o expoente resultante é
Logo sobra
.
- Para
: expoente no numerador é , no denominador é . Então
logo sobra
.
Portanto a expressão dentro do log fica
Portanto a expressão dentro do log fica
Passo 4
Aplicar agora as propriedades dos logaritmos para “desenvolver” o log:
- Regra 1 (log de quociente):
- Regra 2 (log de produto):
Uso essas regras para separar:
e
Passo 5
Agora uso a regra do expoente dentro do log:
. Aplico em cada termo com potência:
-
-
-
fica como está (expoente 1). -
, porque .
Assim
Passo 6
Lembre que a expressão original tinha um fator multiplicativo
na frente do log. Então agora multiplico cada termo por
:
Passo 7
Distribuo
e simplifico os coeficientes aritméticos:
-
Cálculo:. -
-
-
Portanto o resultado final é