Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos: (2pt)
\frac{1}{6} \log _{5}\left(\frac{a^{2} b^{30} \sqrt{c^{4}}}{125 c \sqrt[3]{a}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu “desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão abaixo; ou seja, simplificar e escrever o logaritmo separado em termos mais simples usando as regras de log:
\frac{1}{6}\log_{5}\!\left(\frac{a^{2} b^{30} \sqrt{c^{4}}}{125\,c\,\sqrt[3]{a}}\right)
Informações/dados que temos (explicitando o que aparece no enunciado):
  • A expressão dentro do log é \dfrac{a^{2} b^{30} \sqrt{c^{4}}}{125\,c\,\sqrt[3]{a}}.
  • Existem radicais: \sqrt{c^{4}} e \sqrt[3]{a}.
  • Há um número 125 no denominador.
  • Presumo, como sempre que trabalhamos com logaritmos, que as variáveis envolvidas permitam o logaritmo: a>0, b>0, c>0.
    Nada mais será pedido além de aplicar propriedades de log para “desenvolver” essa expressão.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever radicais como potências racionais e reconhecer potências de números inteiros.
  • \sqrt{c^{4}} = (c^{4})^{1/2} = c^{4\cdot\frac{1}{2}} = c^{2}.
    Explicação curta: a raiz quadrada equivale ao expoente 1/2.
  • \sqrt[3]{a} = a^{1/3}.
  • 125 = 5^{3}.
    Substituindo esses na expressão interior do log obtemos:
\frac{a^{2} b^{30} \sqrt{c^{4}}}{125\,c\,\sqrt[3]{a}} = \frac{a^{2} b^{30} c^{2}}{5^{3}\,c\,a^{1/3}}.

Passo 3

Agora simplifico as potências de a e c dividindo expoentes (regra de potências: \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}).
  • Para a: expoente no numerador é 2, no denominador é 1/3. Então o expoente resultante é
2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.
Logo sobra a^{5/3}.
  • Para c: expoente no numerador é 2, no denominador é 1. Então
2-1=1,
logo sobra c^{1}=c.
Portanto a expressão dentro do log fica
\frac{a^{5/3} b^{30} c}{5^{3}}.

Passo 4

Aplicar agora as propriedades dos logaritmos para “desenvolver” o log:
  • Regra 1 (log de quociente): \log_{5}\!\left(\dfrac{X}{Y}\right)=\log_{5}X-\log_{5}Y.
  • Regra 2 (log de produto): \log_{5}(XYZ)=\log_{5}X+\log_{5}Y+\log_{5}Z.
    Uso essas regras para separar:
\log_{5}\!\left(\frac{a^{5/3} b^{30} c}{5^{3}}\right) = \log_{5}\!\big(a^{5/3} b^{30} c\big) - \log_{5}\!\big(5^{3}\big)
e
\log_{5}\!\big(a^{5/3} b^{30} c\big) = \log_{5}\!\big(a^{5/3}\big) + \log_{5}\!\big(b^{30}\big) + \log_{5}\!\big(c\big).

Passo 5

Agora uso a regra do expoente dentro do log: \log_{5}\!(x^{k}) = k\log_{5}\!x. Aplico em cada termo com potência:
  • \log_{5}\!\big(a^{5/3}\big) = \dfrac{5}{3}\log_{5}\!a.
  • \log_{5}\!\big(b^{30}\big) = 30\log_{5}\!b.
  • \log_{5}\!\big(c\big) fica como está (expoente 1).
  • \log_{5}\!\big(5^{3}\big) = 3, porque \log_{5}\!(5^{3})=3.
    Assim
\log_{5}\!\left(\frac{a^{5/3} b^{30} c}{5^{3}}\right) = \frac{5}{3}\log_{5}\!a + 30\log_{5}\!b + \log_{5}\!c - 3.

Passo 6

Lembre que a expressão original tinha um fator multiplicativo \dfrac{1}{6} na frente do log. Então agora multiplico cada termo por \dfrac{1}{6}:
\frac{1}{6}\log_{5}\!\left(\frac{a^{5/3} b^{30} c}{5^{3}}\right) = \frac{1}{6}\left(\frac{5}{3}\log_{5}\!a + 30\log_{5}\!b + \log_{5}\!c - 3\right).

Passo 7

Distribuo \dfrac{1}{6} e simplifico os coeficientes aritméticos:
  • \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{18}.
    Cálculo: \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{18}.
  • \dfrac{1}{6}\cdot 30 = 5.
  • \dfrac{1}{6}\cdot \log_{5}\!c = \dfrac{1}{6}\log_{5}\!c.
  • \dfrac{1}{6}\cdot (-3) = -\dfrac{1}{2}.
    Portanto o resultado final é
\frac{5}{18}\log_{5}\!a + 5\log_{5}\!b + \frac{1}{6}\log_{5}\!c - \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{5}{18}\log_{5}\!a + 5\log_{5}\!b + \frac{1}{6}\log_{5}\!c - \frac{1}{2}

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