Resolva as equações abaixo:
a)
\lfloor x+3\rfloor=x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\lfloor x+3\rfloor = x+3.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão envolve a função piso (parte inteira) indicada por \lfloor\cdot\rfloor.
  • Procurar todos os números reais x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e uma propriedade essencial da função piso, explicada de forma simples.
  • Definição: para todo real t, \lfloor t\rfloor é o maior inteiro que é menor ou igual a t.
  • Propriedade básica: para todo real t vale
\lfloor t\rfloor \le t < \lfloor t\rfloor + 1.
  • Consequência importante: \lfloor t\rfloor é sempre um número inteiro. Em particular, se \lfloor t\rfloor = t então t é igual a um inteiro (porque o lado esquerdo é inteiro). Reciprocamente, se t for inteiro então \lfloor t\rfloor = t. Portanto temos a equivalência:
\lfloor t\rfloor = t \quad\Longleftrightarrow\quad t\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplique a propriedade ao nosso problema. Faça a substituição
t = x+3.
A equação fica \lfloor t\rfloor = t. Pelas observações do passo anterior isso ocorre exatamente quando t é inteiro. Logo
x+3 \in \mathbb{Z}.

Passo 4

A partir de x+3\in\mathbb{Z} isolamos x. Seja n um inteiro tal que x+3=n. Então
x = n-3,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Isso dá a descrição completa do conjunto solução: todos os números da forma n-3 com n inteiro.

Passo 5

Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
  • Se x=-3 então x+3=0 e \lfloor 0\rfloor = 0, logo funciona.
  • Se x=1/2 então x+3=3{,}5 e \lfloor 3{,}5\rfloor=3\neq 3{,}5, logo x=1/2 não é solução.
    Esses exemplos confirmam que somente quando x+3 é inteiro a igualdade é satisfeita.

Resposta

\{\,n-3 \mid n\in\mathbb{Z}\,\}

Exercícios relacionados