Resolva as equações abaixo:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e o que se pede:
- A expressão envolve a função piso (parte inteira) indicada por
. - Procurar todos os números reais
que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Vamos lembrar a definição e uma propriedade essencial da função piso, explicada de forma simples.
- Definição: para todo real
, é o maior inteiro que é menor ou igual a . - Propriedade básica: para todo real
vale
- Consequência importante:
é sempre um número inteiro. Em particular, se então é igual a um inteiro (porque o lado esquerdo é inteiro). Reciprocamente, se for inteiro então . Portanto temos a equivalência:
Passo 3
Aplique a propriedade ao nosso problema. Faça a substituição
A equação fica
. Pelas observações do passo anterior isso ocorre exatamente quando
é inteiro. Logo
Passo 4
A partir de
isolamos
. Seja
um inteiro tal que
. Então
Isso dá a descrição completa do conjunto solução: todos os números da forma
com
inteiro.
Passo 5
Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
- Se
então e , logo funciona. - Se
então e , logo não é solução.
Esses exemplos confirmam que somente quandoé inteiro a igualdade é satisfeita.