Sendo \mu a função de Möbius, demonstre que \prod_{i=0}^{3} \mu(n+i)=0, para todo \mathrm{n} \geq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que
\prod_{i=0}^{3} \mu(n+i)=0
para todo n\ge 1.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • \mu é a função de Möbius (a definição será usada).
  • O produto é sobre quatro inteiros consecutivos: n,n+1,n+2,n+3.
  • Queremos mostrar que, para todo n\ge1, pelo menos um dos fatores \mu(n+i) é igual a zero, o que torna o produto igual a zero.

Passo 2

Definição e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • A função de Möbius \mu(m) é definida assim:
    • \mu(1)=1.
    • \mu(m)=0 se m não for livre de quadrados, isto é, se existir um primo p tal que p^{2} divide m.
    • \mu(m)=(-1)^{k} se m for produto de k primos distintos (ou seja, m é livre de quadrados).
  • Portanto, para que \mu(m)=0 basta mostrar que m é divisível por p^{2} para algum primo p.
Vou usar essa caracterização: mostrar que, entre quatro inteiros consecutivos, existe um que é divisível por 4=2^{2}. Se um deles for múltiplo de 4, então tem 2^{2} como divisor, logo não é livre de quadrados e, por definição, \mu desse inteiro é zero.

Passo 3

Propriedade modular simples: classes residuais mod 4.
  • Qualquer inteiro m tem um resto r\in\{0,1,2,3\} ao dividir por 4. Escrevemos \,m\equiv r\pmod{4}.
  • Se m\equiv0\pmod{4}, então 4\mid m, isto é, m é múltiplo de 4 e, portanto, 2^{2}\mid m.
  • Observação prática: ao olhar quatro inteiros consecutivos n,n+1,n+2,n+3, eles representam exatamente as quatro classes residuais mod 4 em alguma ordem. Em particular, entre eles há sempre um que é congruente a 0 módulo 4.
Explicando isso com mais calma: escreva n com seu resto modulo 4. Se n\equiv0\pmod{4} já temos um múltiplo de 4. Se n\equiv1\pmod{4}, então n+3\equiv0\pmod{4}. Se n\equiv2\pmod{4}, então n+2\equiv0\pmod{4}. Se n\equiv3\pmod{4}, então n+1\equiv0\pmod{4}. Em todos os casos existe um k\in\{0,1,2,3\} tal que n+k\equiv0\pmod{4}.

Passo 4

Concluir que algum fator tem \mu=0.
  • Pelo passo anterior existe k\in\{0,1,2,3\} tal que 4\mid (n+k).
  • Logo 2^{2}\mid (n+k), ou seja, n+k não é livre de quadrados.
  • Pela definição da função de Möbius segue que \mu(n+k)=0.

Passo 5

Conclusão do produto.
  • No produto \prod_{i=0}^{3}\mu(n+i) aparece o fator \mu(n+k) que é 0.
  • Como um dos fatores do produto é 0, o produto inteiro vale 0.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para intuição, sem alterar a prova geral).
  • Tome n=5. Os quatro inteiros são 5,6,7,8. Aqui 8 é múltiplo de 4 (pois 8=4\cdot2), tem 2^{2} como divisor, então \mu(8)=0 e o produto é zero.
  • Tome n=8. Os quatro inteiros são 8,9,10,11. Novamente 8 é múltiplo de 4, então \mu(8)=0.

Resposta

\,0

Exercícios relacionados