Sendo
a função de Möbius, demonstre que
, para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que
para todo
.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
-
é a função de Möbius (a definição será usada). - O produto é sobre quatro inteiros consecutivos:
. - Queremos mostrar que, para todo
, pelo menos um dos fatores é igual a zero, o que torna o produto igual a zero.
Passo 2
Definição e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
- A função de Möbius
é definida assim: -
. -
se não for livre de quadrados, isto é, se existir um primo tal que divide . -
se for produto de primos distintos (ou seja, é livre de quadrados).
-
- Portanto, para que
basta mostrar que é divisível por para algum primo .
Vou usar essa caracterização: mostrar que, entre quatro inteiros consecutivos, existe um que é divisível por
. Se um deles for múltiplo de
, então tem
como divisor, logo não é livre de quadrados e, por definição,
desse inteiro é zero.
Passo 3
Propriedade modular simples: classes residuais mod
.
- Qualquer inteiro
tem um resto ao dividir por . Escrevemos . - Se
, então , isto é, é múltiplo de e, portanto, . - Observação prática: ao olhar quatro inteiros consecutivos
, eles representam exatamente as quatro classes residuais mod em alguma ordem. Em particular, entre eles há sempre um que é congruente a módulo .
Explicando isso com mais calma: escreva
com seu resto modulo
. Se
já temos um múltiplo de
. Se
, então
. Se
, então
. Se
, então
. Em todos os casos existe um
tal que
.
Passo 4
Concluir que algum fator tem
.
- Pelo passo anterior existe
tal que . - Logo
, ou seja, não é livre de quadrados. - Pela definição da função de Möbius segue que
.
Passo 5
Conclusão do produto.
- No produto
aparece o fator que é . - Como um dos fatores do produto é
, o produto inteiro vale .
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (para intuição, sem alterar a prova geral).
- Tome
. Os quatro inteiros são . Aqui é múltiplo de (pois ), tem como divisor, então e o produto é zero. - Tome
. Os quatro inteiros são . Novamente é múltiplo de , então .