Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
y^prime prime=(y^prime)^3+y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
y'' = (y')^3 + y'
usando a substituição ,v = y'. O conteúdo é redução de ordem em EDOs autônomas, transformando em uma EDO de primeira ordem em v(x).

Passo 2

Fazendo v = y' temos
dvdx = v^3 + v,
Esta é uma equação de variáveis separáveis. Podemos escrever
dvv,(v^2+1) = dx,

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais:
1v(v^2+1) = 1v - vv^2+1
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integral dvv(v^2+1) = integral!l(1v - vv^2+1r),dv = lnl|vr| - tfrac12lnl(v^2+1r) + C1 = x + C2

Passo 4

Reagrupando e exponenciando, obtemos
lnv^2v^2+1 = 2x + C3 Longrightarrow v^2v^2+1 = K,e^2x,
com K=e^C3. Daí
v^2 = K e^2x1 - K e^2x Longrightarrow v = y' = pmraizK,e^xraiz1 - K e^2x

Passo 5

Agora integramos y' = v(x). Seja
t = raizK,e^x Longrightarrow dt = raizK,e^x,dx = v,dx,
então
y = integral v,dx = integral dtraiz1-t^2 = arcsin(t) + C4

Passo 6

Voltando a t e reunindo constantes, a solução geral pode ser escrita de modo implícito como
y = arcsinl(raizK,e^xr) + C4 Long<=ftrightarrow sinl(y - C4r) = raizK,e^x

Resposta

A solução geral é
y(x) = arcsin!l(A,e^xr) + B,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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