Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ( 3,0 pontos)
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=t \\\ y(1)=\frac{1}{4}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial linear de primeira ordem e um valor inicial. Especificamente:
  • A equação diferencial é \displaystyle \frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}y=t.
  • A condição inicial é \displaystyle y(1)=\frac{1}{4}.
O que o problema pede é encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial para t no domínio adequado e que também satisfaz a condição \displaystyle y(1)=\frac{1}{4}.

Passo 2

Identificar a forma padrão da equação linear de primeira ordem e os coeficientes:
A forma padrão é \displaystyle y'+p(t)y=q(t). Aqui:
  • \displaystyle p(t)=\frac{2}{t}.
  • \displaystyle q(t)=t.
Vou resolver usando o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e eficiente para equações nessa forma.

Passo 3

Explicar o fator integrante e calcular \mu(t).
Teoria curta (aula rápida e amigável): para uma equação \displaystyle y'+p(t)y=q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Multiplicar a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big). Isso torna a equação integrável diretamente.
No nosso caso,
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{t}\,dt = 2\int \frac{1}{t}\,dt = 2\ln|t|=\ln|t|^{2}.
Logo
\mu(t)=\exp\!\left(\ln|t|^{2}\right)=|t|^{2}.
Como a condição inicial está em t=1 (positivo), podemos escolher o domínio t>0 e então |t|^{2}=t^{2}. Assim \displaystyle \mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=t^{2}.
A equação original é \displaystyle \frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}y=t. Multiplicando por t^{2} obtemos
t^{2}\frac{dy}{dt}+t^{2}\cdot\frac{2}{t}y = t^{2}\cdot t.
Simplificando os termos:
t^{2}\frac{dy}{dt}+2t y = t^{3}.
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto t^{2}y. Verificação direta:
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big) = t^{2}\frac{dy}{dt} + 2t y,
que coincide com o lado esquerdo acima. Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big) = t^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t.
Integro:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)\,dt = \int t^{3}\,dt.
O lado esquerdo se integra diretamente para t^{2}y. No lado direito:
\int t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{4} + C,
onde \displaystyle C é a constante de integração. Assim obtemos a relação
t^{2}y = \frac{t^{4}}{4} + C.

Passo 6

Isolar y(t) e escrever a solução geral.
Dividindo por t^{2} (novamente assumindo t>0, então t^{2}\neq 0):
y(t) = \frac{t^{4}}{4t^{2}} + \frac{C}{t^{2}} = \frac{t^{2}}{4} + C t^{-2}.
Portanto a solução geral é
y(t)=\frac{t^{2}}{4} + C t^{-2},
com C constante a ser determinada pela condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \displaystyle y(1)=\frac{1}{4} para encontrar C.
Substituindo t=1 na solução geral:
y(1)=\frac{1^{2}}{4} + C\cdot 1^{-2} = \frac{1}{4} + C.
Mas a condição inicial diz que y(1)=\frac{1}{4}. Então
\frac{1}{4} + C = \frac{1}{4}.
Isso implica \displaystyle C=0.

Passo 8

Escrever a solução particular final usando C=0.
Substituindo \displaystyle C=0 na solução geral:
y(t)=\frac{t^{2}}{4} + 0\cdot t^{-2} = \frac{t^{2}}{4}.
Para fechar: a solução está definida para t>0 (domínio consistente com o fator integrante calculado e a condição em t=1). Força aí — essa é a solução que você teria que escrever na prova.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{t^{2}}{4}

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