Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ( 3,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial linear de primeira ordem e um valor inicial. Especificamente:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
O que o problema pede é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial para
no domínio adequado e que também satisfaz a condição
.
Passo 2
Identificar a forma padrão da equação linear de primeira ordem e os coeficientes:
A forma padrão é . Aqui:
A forma padrão é
-
. -
.
Vou resolver usando o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e eficiente para equações nessa forma.
Passo 3
Explicar o fator integrante e calcular
.
Teoria curta (aula rápida e amigável): para uma equação
, define-se o fator integrante
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo em
. Isso torna a equação integrável diretamente.
No nosso caso,
Calcule a integral:
Logo
Como a condição inicial está em
(positivo), podemos escolher o domínio
e então
. Assim
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
.
A equação original é
. Multiplicando por
obtemos
Simplificando os termos:
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Verificação direta:
que coincide com o lado esquerdo acima. Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integro:
O lado esquerdo se integra diretamente para
. No lado direito:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a relação
Passo 6
Isolar
e escrever a solução geral.
Dividindo por
(novamente assumindo
, então
):
Portanto a solução geral é
com
constante a ser determinada pela condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para encontrar
.
Substituindo
na solução geral:
Mas a condição inicial diz que
. Então
Isso implica
.
Passo 8
Escrever a solução particular final usando
.
Substituindo
na solução geral:
Para fechar: a solução está definida para
(domínio consistente com o fator integrante calculado e a condição em
). Força aí — essa é a solução que você teria que escrever na prova.