Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1 - 2xy + 3x^2y^2),dx ;- (x^2 + 3y^2 - 2x^3y),dy = 0
Identificamos que o objetivo é achar a solução implícita psi(x,y)=k.

Passo 2

Para verificar se a equação é exata, escrevemos
M(x,y) = 1 - 2xy + 3x^2y^2
e
N(x,y) = -l(x^2 + 3y^2 - 2x^3yr) = -x^2 - 3y^2 + 2x^3y.
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -2x + 6x^2y,\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = -2x + 6x^2y.$$
Como coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y).
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral(1 - 2xy + 3x^2y^2),dx = x - x^2y + x^3y^2 + h(y)

Passo 4

Agora derivamos psi em relação a y para achar h(y):
partial psipartial y = -x^2 + 2x^3y + h'(y)
Deve ser igual a N(x,y) = -x^2 - 3y^2 + 2x^3y. Logo
h'(y) = -3y^2 Longrightarrow h(y) = -y^3 + C

Passo 5

Substituindo h(y) em psi(x,y), obtemos a solução geral implícita
psi(x,y) = x - x^2y + x^3y^2 - y^3 = k,
onde k é constante de integração.

Resposta

x - x^2y + x^3y^2 - y^3 = k

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