Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Identificamos que o objetivo é achar a solução implícita
.
Passo 2
Para verificar se a equação é exata, escrevemos
e
.
Calculamos
e
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -2x + 6x^2y,\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = -2x + 6x^2y.$$
Como coincidem, a equação é exata.
Como coincidem, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
.
Integramos em relação a :
Integramos em relação a
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para achar
:
Deve ser igual a
. Logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução geral implícita
onde
é constante de integração.