Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem dada por (2 x y^3 + 8 x),dx + (3 x^2 y^2 + 5),dy = 0 com a condição inicial y(2) = -1. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, então vamos verificar a exatidão e depois construir uma função potencial.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = 2 x y^3 + 8 x e N(x,y) = 3 x^2 y^2 + 5. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6 x y^2, partial Npartial x = 6 x y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial Psi(x,y). Integrando M em relação a x obtemos:
Psi(x,y) = integral (2 x y^3 + 8 x) ,dx = x^2 y^3 + 4 x^2 + h(y)

Passo 4

Agora derivamos Psi em relação a y e igualamos a N para determinar h(y). Temos:
partial Psipartial y = 3 x^2 y^2 + h'(y),
que deve ser igual a N(x,y) = 3 x^2 y^2 + 5. Assim, h'(y) = 5 e, integrando, h(y) = 5y. A solução geral fica:
x^2 y^3 + 4 x^2 + 5y = C

Passo 5

Para achar a constante C, usamos a condição inicial y(2) = -1. Substituindo:
C = 2^2 cdot (-1)^3 + 4 cdot 2^2 + 5 cdot (-1) = -4 + 16 - 5 = 7
Logo, a solução particular é:
x^2 y^3 + 4 x^2 + 5y = 7

Resposta

x^2 y^3 + 4 x^2 + 5y = 7

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