Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
Temos a equação diferencial de primeira ordem dada por
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, então vamos verificar a exatidão e depois construir uma função potencial.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
. Integrando
em relação a
obtemos:
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
para determinar
. Temos:
que deve ser igual a
. Assim,
e, integrando,
. A solução geral fica:
Passo 5
Para achar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo:
Logo, a solução particular é: