Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Esse é um caso de equação de primeira ordem do tipo homogênea, pois o lado direito depende apenas da razão
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Definindo
Substituindo na equação,
Passo 3
que leva a
Ou seja é uma equação separável
Passo 4
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Passo 6
Isolando
:
onde
Passo 7
Voltando a
:
$$y=x\Bigl(1+\frac{1}{K-\ln|x|}\Bigr)
=x+\frac{x}{K-\ln|x|}$$
Reescrevendo a constante como e lembrando
para usar
, obtemos
Reescrevendo a constante como
Passo 8
que é a solução geral.
Resposta
y=x-\frac{x}{k+\ln x}