Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2y'=x^2-xy+y^2
Esse é um caso de equação de primeira ordem do tipo homogênea, pois o lado direito depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição clássica para esse caso.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2 obtemos

Definindo y'=1-yx+l(yxr)^2, temos u=yx e
Substituindo na equação,

Passo 3

u+xu'=1-u+u^2
que leva a
xu'=(u-1)^2
Ou seja é uma equação separável

Passo 4

Separamos as variáveis:
du(u-1)^2=dxx
Integramos ambos os lados:

Passo 5

integral (u-1)^-2,du=integral dxx
-,(u-1)^-1=ln|x|+C

Passo 6

Isolando u:
1u-1=K-ln|x|
onde K=-C. Logo
u-1=1K-ln|x|Longrightarrow u=1+1K-ln|x|.

Passo 7

Voltando a y=ux:
$$y=x\Bigl(1+\frac{1}{K-\ln|x|}\Bigr)
=x+\frac{x}{K-\ln|x|}$$
Reescrevendo a constante como y=xl(1+1K-ln|x|r) =x+xK-ln|x| e lembrando k=-K para usar x>0, obtemos

Passo 8

y=x-xk+ln x
que é a solução geral.

Resposta

y=x-\frac{x}{k+\ln x}

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