Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
ln cos (x+y)=x+k R.

Passo 1

A equação dada é de primeira ordem: temos . Vamos precisar reconhecer uma forma que torne a equação separável, usando uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Note que se somarmos 1 em ambos os lados, fica . Esse y'+1=cotg(x+y) sugere considerar y'+1, pois então u=x+y.

Passo 3

Definindo u=x+y, temos
dudx=1+y'
Substituindo a equação original, obtemos
.

Passo 4

Agora a equação está separável. Escrevemos

Mas , logo
ducotg u=dx.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integraltan u,du=integral dx
Lembrando que integraltan u,du=-ln|cos u|+C, obtemos
-ln|cos u|=x+C1.

Passo 6

Voltando à variável original u=x+y, temos
-ln|cos(x+y)|=x+C1
Ou, reorganizando,
ln|cos(x+y)|+x=K
com K=-C1, a constante geral de integração.

Resposta

ln|cos(x+y)|+x=K

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