Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
O exercício nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total: 3x²y² dx + 4(x³y − 3) dy = 0. O tema é identificar se ela é exata e, em caso negativo, achar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Verificamos exatidão comparando ∂M/∂y e ∂N/∂x, onde M(x,y)=3x²y² e N(x,y)=4(x³y−3). Calculamos:
Passo 3
Como não são iguais, não é exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante dependente só de y. Usamos a fórmula
$$\mu(y)=\exp\Bigl(\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M},dy\Bigr).
$$ Aqui
então
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por y² e obtemos
Agora M^=3x²y⁴ e N^=4x³y³−12y² satisfazem ∂M*/∂y=12x²y³=∂N*/∂x, logo é exata.
Passo 6
Procuramos uma função potencial φ(x,y) tal que φ_x = M^* e φ_y = N^*. Integramos φ_x em relação a x:
Derivando em y e igualando a N^*:
daí h’(y)=−12y² e h(y)=−4y³.
Passo 7
A solução geral implícita vem de φ(x,y)=constante, isto é,