Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

O exercício nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total: 3x²y² dx + 4(x³y − 3) dy = 0. O tema é identificar se ela é exata e, em caso negativo, achar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Verificamos exatidão comparando ∂M/∂y e ∂N/∂x, onde M(x,y)=3x²y² e N(x,y)=4(x³y−3). Calculamos:

Passo 3

partial Mpartial y=6x^2y, partial Npartial x=12x^2y
Como não são iguais, não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante dependente só de y. Usamos a fórmula
$$\mu(y)=\exp\Bigl(\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M},dy\Bigr).
$$ Aqui
mu(y)=expl(integral partial Npartial x-partial Mpartial yM,dyr)
então
partial N/partial x-partial M/partial yM=12x^2y-6x^2y3x^2y^2=6x^2y3x^2y^2=2y,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por y² e obtemos
3x^2y^4,dx + 4(x^3y-3)y^2,dy = 0
Agora M^=3x²y⁴ e N^=4x³y³−12y² satisfazem ∂M*/∂y=12x²y³=∂N*/∂x, logo é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial φ(x,y) tal que φ_x = M^* e φ_y = N^*. Integramos φ_x em relação a x:
φ(x,y)=integral 3x^2y^4 dx = x^3y^4 + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
φy = 4x^3y^3 + h'(y) = 4x^3y^3 -12y^2
daí h’(y)=−12y² e h(y)=−4y³.

Passo 7

A solução geral implícita vem de φ(x,y)=constante, isto é,
x^3y^4 - 4y^3 = k

Resposta

x^3y^4 - 4y^3 = k

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