Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Identificaremos o tipo da equação, que pertence à família de Bernoulli, e faremos a substituição adequada para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma explícita
. Dividindo por
e reorganizando, obtemos
Essa é uma equação de Bernoulli do tipo
com
,
e
.
Passo 3
Para transformar em uma equação linear, fazemos a substituição
Calculamos
em função de
:
Substituindo
pela expressão da equação original, temos
Passo 4
Reorganizamos para ver o formato linear em
:
O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados,
Passo 5
Voltando à variável
, temos
Como
, elevamos ao quadrado:
Para deixar no formato pedido, note que
, e renomeamos a constante
como
.
Resposta
y = x^{4}\bigl(\ln\sqrt{x} + k\bigr)^{2}