Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(4yx+xraizyr),dx = dy
Identificaremos o tipo da equação, que pertence à família de Bernoulli, e faremos a substituição adequada para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma explícita dy/dx. Dividindo por dx e reorganizando, obtemos
dydx - 4x,y = x,y^1/2
Essa é uma equação de Bernoulli do tipo
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
com P(x)=-4/x, Q(x)=x e n=1/2.

Passo 3

Para transformar em uma equação linear, fazemos a substituição
u = y^1-n = y^1-1/2 = y^1/2 = raizy
Calculamos du/dx em função de dy/dx:
dudx = 12y^-1/2dydx
Substituindo dy/dx pela expressão da equação original, temos
dudx = 12y^-1/2l(4yx + x,y^1/2r) = 12l(4y^1/2x + xr) = 2ux + x2

Passo 4

Reorganizamos para ver o formato linear em u:
dudx - 2xu = x2
O fator integrante é
mu(x) = e^integral -2/x,dx = x^-2
Multiplicando toda a equação por x^-2 obtemos
ddxl(u,x^-2r) = x2,x^-2 = 12x
Integrando ambos os lados,
u,x^-2 = integral 12x,dx = 12ln|x| + C

Passo 5

Voltando à variável y, temos
u = x^2l(tfrac12ln|x| + Cr)
Como u = raizy, elevamos ao quadrado:
y = x^4l(tfrac12ln|x| + Cr)^2
Para deixar no formato pedido, note que tfrac12ln x = lnraizx, e renomeamos a constante C como k.

Resposta

y = x^{4}\bigl(\ln\sqrt{x} + k\bigr)^{2}

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