Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

A equação dada é da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, com
M(x,y) = y + e^{y} - e^{-x} e
N(x,y) = 1 + e^{y}.
Vamos identificar o tipo e ver se é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Para uma equação exata, precisaríamos ter ∂M/∂y = ∂N/∂x. Calculando:
∂M/∂y = 1 + e^{y}
∂N/∂x = 0
Como 1 + e^{y} ≠ 0 em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. A condição é que (∂M/∂y - ∂N/∂x)/N seja função só de x. Aqui:
(∂M/∂y - ∂N/∂x)/N = (1 + e^{y} - 0)/(1 + e^{y}) = 1
Isso é constante em x, logo μ(x) = e^{∫1 dx} = e^{x}.

Passo 4

Multiplicamos tudo por μ(x) = e^{x}. Definindo M* = e^{x}M e N* = e^{x}N, temos:
M* = e^{x}y + e^{x+y} - 1
N* = e^{x} + e^{x+y}
Agora checamos ∂M*/∂y = e^{x} + e^{x+y} = ∂N*/∂x, ou seja, a nova equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial φ(x,y) tal que φ_x = M* e φ_y = N*.
Integrando φ_x em relação a x:
φ(x,y) = ∫(e^{x}y + e^{x+y} - 1) dx = y e^{x} + e^{x+y} - x + h(y).
Para determinar h(y), derivamos em relação a y:
φ_y = e^{x} + e^{x+y} + h’(y)
Isso deve ser igual a N* = e^{x} + e^{x+y}, logo h’(y)=0 e h(y) = constante.

Passo 6

A condição implícita de solução é φ(x,y) = C, isto é:
y e^{x} + e^{x+y} - x = C.
Fatorando e^{x} e isolando, obtemos a forma mais limpa:
y + e^{y} = (x + k),e^{-x}, onde k é constante de integração.

Resposta

y+e^y=(x+k)e^-x

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