Resolva as equações abaixo em \(\left|x^{2}-3 x+4\right|=5)

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação \left|x^{2}-3x+4\right|=5. Esse é um problema de equação modular: a estratégia é dividir em dois casos, fazendo a expressão dentro do valor absoluto igual a 5 e igual a -5.

Passo 2

Caso 1:
Suponha
x^{2}-3x+4 = 5.
Subtraindo 5 de ambos os lados obtemos
x^{2}-3x-1 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, com a=1, b=-3, c=-1:
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.

Passo 3

Caso 2:
Suponha
x^{2}-3x+4 = -5.
Somando 5 aos dois lados dá
x^{2}-3x+9 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot9 = 9 - 36 = -27 < 0,
logo não há soluções reais neste caso.

Passo 4

Como só o Caso 1 gera raízes reais, as soluções da equação original são
x = \frac{3+\sqrt{13}}{2} \quad\text{e}\quad x = \frac{3-\sqrt{13}}{2}.

Resposta

x = \frac{3+\sqrt{13}}{2},\quad x = \frac{3-\sqrt{13}}{2}.

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