Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
x^{2}<3

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede para resolver a inequação
x^{2}<3
e ilustrar o conjunto solução na reta real. A única informação é que x é um número real e devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Passo inicial de manipulação algébrica. Colocamos tudo de um lado para reconhecer uma expressão conhecida:
x^{2}<3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-3<0.
Agora trabalhamos com a expressão quadrática x^{2}-3.

Passo 3

Encontrar as raízes da quadrática (os pontos onde a expressão muda de sinal). Resolvemos
x^{2}-3=0.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos as soluções
x=\pm\sqrt{3}.
Esses dois pontos são os zeros da função x\mapsto x^{2}-3.

Passo 4

Fatoração e análise de sinais. Podemos escrever
x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
Para saber onde essa expressão é negativa, fazemos um estudo de sinais nas três regiões determinadas pelas raízes:
  • Para x<-\sqrt{3}: por exemplo x=-2. Calculando x^{2}-3 temos (-2)^{2}-3=4-3=1>0. Logo é positivo nessa região.
  • Para -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}: por exemplo x=0. Calculando 0^{2}-3=-3<0. Logo é negativo nessa região.
  • Para x>\sqrt{3}: por exemplo x=2. Calculando 2^{2}-3=4-3=1>0. Logo é positivo nessa região.
Como queremos x^{2}-3<0, a solução é exatamente o intervalo onde a expressão é negativa, isto é
-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}.

Passo 5

Interpretação via valor absoluto (uma forma curta e útil para a prova). Note que x^{2}=(|x|)^{2}. Para constante positiva 3 vale a equivalência
x^{2}<3 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\sqrt{3}.
E a desigualdade |x|<\sqrt{3} significa exatamente que x está entre -\sqrt{3} e \sqrt{3}, ou seja x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3}).

Passo 6

Como ilustrar na reta real. Desenhe a reta real, marque os pontos x=-\sqrt{3} e x=\sqrt{3} e coloque bolinhas abertas nesses pontos (porque a desigualdade é estrita, não inclui as extremidades). Pinte (sombreie) o segmento da reta entre essas duas bolinhas. Esse segmento é o conjunto solução.

Resposta

(-\sqrt{3},\sqrt{3})

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