Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede para resolver a inequação
e ilustrar o conjunto solução na reta real. A única informação é que
é um número real e devemos encontrar todos os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Passo inicial de manipulação algébrica. Colocamos tudo de um lado para reconhecer uma expressão conhecida:
Agora trabalhamos com a expressão quadrática
.
Passo 3
Encontrar as raízes da quadrática (os pontos onde a expressão muda de sinal). Resolvemos
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos as soluções
Esses dois pontos são os zeros da função
.
Passo 4
Fatoração e análise de sinais. Podemos escrever
Para saber onde essa expressão é negativa, fazemos um estudo de sinais nas três regiões determinadas pelas raízes:
- Para
: por exemplo . Calculando temos . Logo é positivo nessa região. - Para
: por exemplo . Calculando . Logo é negativo nessa região. - Para
: por exemplo . Calculando . Logo é positivo nessa região.
Como queremos
, a solução é exatamente o intervalo onde a expressão é negativa, isto é
Passo 5
Interpretação via valor absoluto (uma forma curta e útil para a prova). Note que
. Para constante positiva
vale a equivalência
E a desigualdade
significa exatamente que
está entre
e
, ou seja
.
Passo 6
Como ilustrar na reta real. Desenhe a reta real, marque os pontos
e
e coloque bolinhas abertas nesses pontos (porque a desigualdade é estrita, não inclui as extremidades). Pinte (sombreie) o segmento da reta entre essas duas bolinhas. Esse segmento é o conjunto solução.