Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas importantes: a incógnita aparece dentro de um cosseno com argumento
; a equação é quadrática em
. Precisamos encontrar todas as soluções reais
(a solução geral), usando a periodicidade das funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos simplificar a aparência da equação com uma substituição. Defino
Explico por que: a equação original fica uma equação polinomial simples em
, mais fácil de resolver. Observação importante: como
é um cosseno,
deve satisfazer
, mas isso só será relevante se alguma raiz obtida estiver fora desse intervalo (aqui não acontecerá).
Passo 3
Usando a substituição, a equação vira
Isso é uma equação quadrática simples; fatorando:
Portanto as soluções para
são
Passo 4
Agora voltamos para a variável original. Primeiro caso:
, ou seja
Conhecimento usado (expliquei): as soluções gerais da equação
são
porque o cosseno é zero nos pontos
e a cada
unidades depois disso. Aplicando
obtemos
Passo 5
Segundo caso:
, ou seja
Conhecimento usado: as soluções gerais de
são
pois o cosseno atinge
em
e depois volta a repetir a cada
. Aplicando
obtemos
Passo 6
Resumo e verificação rápida (didática): ambas as famílias de soluções estão no conjunto dos reais e vêm das duas raízes da quadrática em
. Não há raízes extraviadas fora do intervalo
, então aceitamos ambas. Podemos listar as soluções gerais separadamente.