Resolva as equações abaixo em x :
\cos ^{2}\left(\frac{x}{4}\right)+\cos \left(\frac{x}{4}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x a equação
\cos^{2}\!\left(\frac{x}{4}\right)+\cos\!\left(\frac{x}{4}\right)=0.
Informações dadas importantes: a incógnita aparece dentro de um cosseno com argumento \frac{x}{4}; a equação é quadrática em \cos\!\left(\frac{x}{4}\right). Precisamos encontrar todas as soluções reais x (a solução geral), usando a periodicidade das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos simplificar a aparência da equação com uma substituição. Defino
u=\cos\!\left(\frac{x}{4}\right).
Explico por que: a equação original fica uma equação polinomial simples em u, mais fácil de resolver. Observação importante: como u é um cosseno, u deve satisfazer -1\le u\le 1, mas isso só será relevante se alguma raiz obtida estiver fora desse intervalo (aqui não acontecerá).

Passo 3

Usando a substituição, a equação vira
u^{2}+u=0.
Isso é uma equação quadrática simples; fatorando:
u(u+1)=0.
Portanto as soluções para u são
u=0\quad\text{ou}\quad u=-1.

Passo 4

Agora voltamos para a variável original. Primeiro caso: u=0, ou seja
\cos\!\left(\frac{x}{4}\right)=0.
Conhecimento usado (expliquei): as soluções gerais da equação \cos\theta=0 são
\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque o cosseno é zero nos pontos \frac{\pi}{2} e a cada \pi unidades depois disso. Aplicando \theta=\frac{x}{4} obtemos
\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad x=4\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=2\pi+4k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Segundo caso: u=-1, ou seja
\cos\!\left(\frac{x}{4}\right)=-1.
Conhecimento usado: as soluções gerais de \cos\theta=-1 são
\theta=\pi+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
pois o cosseno atinge -1 em \pi e depois volta a repetir a cada 2\pi. Aplicando \theta=\frac{x}{4} obtemos
\frac{x}{4}=\pi+2k\pi \quad\Rightarrow\quad x=4(\pi+2k\pi)=4\pi+8k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Resumo e verificação rápida (didática): ambas as famílias de soluções estão no conjunto dos reais e vêm das duas raízes da quadrática em u. Não há raízes extraviadas fora do intervalo [-1,1], então aceitamos ambas. Podemos listar as soluções gerais separadamente.

Resposta

x=2\pi+4k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=4\pi+8k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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