Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação em
:
Informações relevantes dadas:
- Temos logaritmos na base
. - A incógnita é
. - Para que os logaritmos existam é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja
e . Logo, implicitamente, devemos ter . - Objetivo: encontrar todo
que satisfaça a igualdade e respeite a condição .
Passo 2
Vamos organizar a expressão usando propriedades básicas de logaritmos. Primeiro lembro duas propriedades essenciais (vou explicar cada uma):
- Produto/potência:
. Aqui é um número real, é a base do logaritmo (aqui ) e é o argumento. Essa propriedade vem da definição inversa entre logaritmo e exponenciação: multiplicar o log por é o mesmo que levar o argumento à potência . - Diferença:
, desde que e . Essa propriedade decorre da regra do produto aplicada ao inverso: .
Vou aplicar essas propriedades ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando a propriedade 1 ao termo
podemos escrever:
Explicando: multipliquei o logaritmo por
, por isso transformei o argumento em
.
Passo 4
Agora a equação fica
Mas é mais conveniente usar a propriedade da diferença diretamente no formato original. Observando a equação original,
usamos a propriedade 1 para transformar
em
e então a propriedade 2 para juntar os logaritmos. Façamos isso de forma explícita:
Passo 5
Simplifico o argumento do logaritmo:
desde que
. Lembre-se que já temos a condição
, então
está garantido. Assim a equação vira
Passo 6
Agora converto o logaritmo para a forma exponencial para resolver para
. A equivalência é:
se e somente se
. Aplicando isso:
Explicando:
significa “a potência que eu elevo 3 para obter
é 1”, então
.
Passo 7
Resolvo a equação
. Multiplico ambos os lados por
e divido por
:
Passo 8
Verificação e domínio: precisamos checar se
satisfaz a condição
(domínio dos logaritmos) e se de fato satisfaz a equação original. Como
, domínio ok. Substituindo na equação original (apenas para confirmar):
Usando propriedades (ou calculando mentalmente a transformação anterior) obtém-se
. Portanto
é solução válida.