Resolva as equações abaixo em x :
\log _{3}(12 x)-2 \log _{3}(x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em x:
\log_{3}(12x) - 2\log_{3}(x) = 1.
Informações relevantes dadas:
  • Temos logaritmos na base 3.
  • A incógnita é x.
  • Para que os logaritmos existam é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja 12x>0 e x>0. Logo, implicitamente, devemos ter x>0.
  • Objetivo: encontrar todo x que satisfaça a igualdade e respeite a condição x>0.

Passo 2

Vamos organizar a expressão usando propriedades básicas de logaritmos. Primeiro lembro duas propriedades essenciais (vou explicar cada uma):
  1. Produto/potência: k\log_a(b)=\log_a(b^k). Aqui k é um número real, a é a base do logaritmo (aqui a=3) e b é o argumento. Essa propriedade vem da definição inversa entre logaritmo e exponenciação: multiplicar o log por k é o mesmo que levar o argumento à potência k.
  2. Diferença: \log_a(u)-\log_a(v)=\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right), desde que u>0 e v>0. Essa propriedade decorre da regra do produto aplicada ao inverso: \log_a(u)-\log_a(v)=\log_a\!\left(u\cdot v^{-1}\right)=\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right).
Vou aplicar essas propriedades ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a propriedade 1 ao termo -2\log_{3}(x) podemos escrever:
-2\log_{3}(x)=\log_{3}\big(x^{-2}\big).
Explicando: multipliquei o logaritmo por -2, por isso transformei o argumento em x^{-2}.

Passo 4

Agora a equação fica
\log_{3}(12x)+\log_{3}\big(x^{-2}\big)=1.
Mas é mais conveniente usar a propriedade da diferença diretamente no formato original. Observando a equação original,
\log_{3}(12x)-2\log_{3}(x)=1,
usamos a propriedade 1 para transformar 2\log_3(x) em \log_3(x^2) e então a propriedade 2 para juntar os logaritmos. Façamos isso de forma explícita:
\log_{3}(12x)-2\log_{3}(x)=\log_{3}(12x)-\log_{3}\big(x^{2}\big)=\log_{3}\!\left(\dfrac{12x}{x^{2}}\right).

Passo 5

Simplifico o argumento do logaritmo:
\frac{12x}{x^{2}}=\frac{12}{x},
desde que x\neq 0. Lembre-se que já temos a condição x>0, então x\neq 0 está garantido. Assim a equação vira
\log_{3}\!\left(\frac{12}{x}\right)=1.

Passo 6

Agora converto o logaritmo para a forma exponencial para resolver para x. A equivalência é: \log_{3}(y)=1 se e somente se y=3^{1}. Aplicando isso:
\frac{12}{x}=3^{1}=3.
Explicando: \log_{3}(y)=1 significa “a potência que eu elevo 3 para obter y é 1”, então y=3.

Passo 7

Resolvo a equação \dfrac{12}{x}=3. Multiplico ambos os lados por x e divido por 3:
12=3x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{12}{3}=4.

Passo 8

Verificação e domínio: precisamos checar se x=4 satisfaz a condição x>0 (domínio dos logaritmos) e se de fato satisfaz a equação original. Como 4>0, domínio ok. Substituindo na equação original (apenas para confirmar):
\log_{3}(12\cdot 4)-2\log_{3}(4)=\log_{3}(48)-2\log_{3}(4).
Usando propriedades (ou calculando mentalmente a transformação anterior) obtém-se 1. Portanto x=4 é solução válida.

Resposta

4

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