Resolva as equações abaixo em x :
\tan (x)+\operatorname{sec} ^{2}(x)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver em x a equação
\tan(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)=1.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Temos as funções \tan(x) e \operatorname{sec}(x) envolvidas.
  • Lembre que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, então a expressão só está definida quando \cos(x)\neq 0 (ou seja, x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • Precisamos encontrar todas as soluções gerais (com o parâmetro inteiro k) que satisfaçam a equação.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica útil. A identidade fundamental que liga \operatorname{sec} e \tan é
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x).
Explico rápido essa identidade: ela vem da identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Dividindo ambos os membros por \cos^{2}x obtemos \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x. Aqui \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos x}.

Passo 3

Substituir \operatorname{sec}^{2}(x) por 1+\tan^{2}(x) na equação original:
\tan(x)+\bigl(1+\tan^{2}(x)\bigr)=1.
Agora simplificamos o lado esquerdo.

Passo 4

Cancelar o 1 dos dois lados:
\tan^{2}(x)+\tan(x)=0.
Agora temos uma equação em \tan(x) que é um polinômio quadrático em \tan(x).

Passo 5

Fatorar a expressão:
\tan(x)\bigl(\tan(x)+1\bigr)=0.
Isso implica que pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos dois casos:
Caso A: \tan(x)=0.
Caso B: \tan(x)=-1.

Passo 6

Resolver cada caso usando a solução geral para \tan(x)=a. Regra: se \tan(x)=a então
x=\arctan(a)+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque \tan tem período \pi.
  • Caso A: \tan(x)=0. Temos \arctan(0)=0, logo
x=0+k\pi = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para x=k\pi temos \tan x=0 e \operatorname{sec}^{2}x=1, então 0+1=1 — ok.
  • Caso B: \tan(x)=-1. Temos \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}, então
x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
(Outra forma equivalente é x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, já que acrescentar \pi/2 troca sinal, mas a forma -\pi/4+k\pi já descreve todas as soluções com período \pi.) Verificação rápida: se \tan x=-1 então \tan^{2}x=1 e \operatorname{sec}^{2}x=2, assim -1+2=1 — ok.

Passo 7

Conferir restrições de domínio: precisamos de \cos(x)\neq 0. As soluções encontradas são x=k\pi e x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Nenhuma dessas coincide com x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, portanto todas são válidas.

Resposta

x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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