Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado pede resolver em
a equação
Informações dadas e observações iniciais:
- Temos as funções
e envolvidas. - Lembre que
, então a expressão só está definida quando (ou seja, , ). - Precisamos encontrar todas as soluções gerais (com o parâmetro inteiro
) que satisfaçam a equação.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica útil. A identidade fundamental que liga
e
é
Explico rápido essa identidade: ela vem da identidade pitagórica
. Dividindo ambos os membros por
obtemos
. Aqui
e
.
Passo 3
Substituir
por
na equação original:
Agora simplificamos o lado esquerdo.
Passo 4
Cancelar o
dos dois lados:
Agora temos uma equação em
que é um polinômio quadrático em
.
Passo 5
Fatorar a expressão:
Isso implica que pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos dois casos:
Caso A:
.
Caso B:
.
Passo 6
Resolver cada caso usando a solução geral para
. Regra: se
então
porque
tem período
.
- Caso A:
. Temos , logo
Verificação rápida: para
temos
e
, então
— ok.
- Caso B:
. Temos , então
(Outra forma equivalente é
, já que acrescentar
troca sinal, mas a forma
já descreve todas as soluções com período
.) Verificação rápida: se
então
e
, assim
— ok.
Passo 7
Conferir restrições de domínio: precisamos de
. As soluções encontradas são
e
. Nenhuma dessas coincide com
, portanto todas são válidas.