Resolva as equações abaixo em x :
e^{2 x+3}-2^{3}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em x:
e^{2x+3}-2^{3}=0.
Informações dadas e observações imediatas:
2^{3}=8,
e a incógnita é x. A meta é encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

O primeiro passo algébrico é isolar o termo exponencial. Somando 2^{3} aos dois lados da equação obtemos:
e^{2x+3}=2^{3}.

Passo 3

Agora precisamos “desfazer” a exponenciação com base e. A operação inversa da função exponencial y\mapsto e^{y} é o logaritmo natural, denotado por \ln. Uma propriedade fundamental é
\ln\big(e^{y}\big)=y
para qualquer y. Aplicando \ln em ambos os lados da igualdade temos:
\ln\big(e^{2x+3}\big)=\ln\big(2^{3}\big).

Passo 4

Pelo que disse acima, o lado esquerdo simplifica para 2x+3. No lado direito usamos outra propriedade dos logaritmos: \ln(a^{b})=b\ln(a). Assim:
2x+3=\ln\big(2^{3}\big)=3\ln 2.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear em x. Subtraindo 3 de ambos os lados:
2x=3\ln 2-3.
Dividindo por 2:
x=\frac{3\ln 2-3}{2}.
Podemos também escrever fatorando 3:
x=\frac{3(\ln 2-1)}{2}.

Passo 6

Opcional: uma aproximação numérica para me orientar na prova (usando \ln 2\approx0{,}693147):
x\approx\frac{3(0{,}693147-1)}{2}=\frac{3(-0{,}306853)}{2}\approx-0{,}46028.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (para eu me sentir confiante ao levar isso pra prova): se x=\dfrac{3\ln 2-3}{2}, então
2x+3=3\ln 2,
e portanto
e^{2x+3}=e^{3\ln 2}=\big(e^{\ln 2}\big)^{3}=2^{3},
que satisfaz a equação original.

Resposta

x=\dfrac{3\ln 2-3}{2}=\dfrac{3(\ln 2-1)}{2}\approx-0,46028

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