Seja Q=I,-I, J,-J, K,-K, L,-L, onde:
I=[ll 1 & 0 0 & 1 ], J=[cc i & 0 0 & -i ], K=[cc 0 & 1 -1 & 0 ] , e L=[cc 0 & i i & 0 ]
Se em Q=I,-I, J,-J, K,-K, L,-L definimos como operação o produto usual de matrizes, obtemos um grupo chamado Quatérnios, que tem importantes aplicações em Matemática.
Construa a tabela T da operação dos Quatérnios.

Passo 1

O enunciado pede para montar a tabela de multiplicação do grupo Q = {I, –I, J, –J, K, –K, L, –L}, onde a operação é o produto usual de matrizes. O conteúdo envolve teoria de grupos (identidade, inverso e fechamento) aplicada aos quatérnios representados pelas matrizes I, J, K e L.

Passo 2

Primeiro, identificamos que I funciona como elemento neutro: para qualquer elemento X em Q vale X·I = I·X = X. Já –I também é central e satisfaz (–I)·X = –X para todo X.

Passo 3

Em seguida, lembramos as potências dos geradores principais:
J^2 = K^2 = L^2 = -I
Isso significa, por exemplo, J·J = -I, K·K = -I e L·L = -I.

Passo 4

Para fechar as regras de multiplicação, usamos as relações mistas típicas dos quatérnios:
$$J,K = L,
\quad K,J = -L,$$
$$K,L = J,
\quad L,K = -J,$$
$$L,J = K,
\quad J,L = -K.$$

Passo 5

Com todas essas regras em mãos (neutro, inverso, quadrados e produtos mistos), podemos preencher sistematicamente cada entrada da tabela: faremos linhas e colunas na ordem I, –I, J, –J, K, –K, L, –L. Assim obtemos a tabela completa de multiplicação dos quatérnios.

Resposta

T = c|cccccccc cdot & I & -I & J & -J & K & -K & L & -L hline I & I & -I & J & -J & K & -K & L & -L -I & -I & I & -J & J & -K & K & -L & L J & J & -J & -I & I & L & -L & -K & K -J & -J & J & I & -I & -L & L & K & -K K & K & -K & -L & L & -I & I & J & -J -K & -K & K & L & -L & I & -I & -J & J L & L & -L & K & -K & -J & J & -I & I -L & -L & L & -K & K & J & -J & I & -I

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