Seja
, onde:
Se em
definimos como operação o produto usual de matrizes, obtemos um grupo chamado Quatérnios, que tem importantes aplicações em Matemática.
Construa a tabela
da operação dos Quatérnios.
Construa a tabela
Passo 1
O enunciado pede para montar a tabela de multiplicação do grupo Q = {I, –I, J, –J, K, –K, L, –L}, onde a operação é o produto usual de matrizes. O conteúdo envolve teoria de grupos (identidade, inverso e fechamento) aplicada aos quatérnios representados pelas matrizes I, J, K e L.
Passo 2
Primeiro, identificamos que I funciona como elemento neutro: para qualquer elemento X em Q vale X·I = I·X = X. Já –I também é central e satisfaz (–I)·X = –X para todo X.
Passo 3
Em seguida, lembramos as potências dos geradores principais:
Isso significa, por exemplo, J·J = -I, K·K = -I e L·L = -I.
Passo 4
Para fechar as regras de multiplicação, usamos as relações mistas típicas dos quatérnios:
$$J,K = L,
\quad K,J = -L,$$
$$K,L = J,
\quad L,K = -J,$$
$$L,J = K,
\quad J,L = -K.$$
Passo 5
Com todas essas regras em mãos (neutro, inverso, quadrados e produtos mistos), podemos preencher sistematicamente cada entrada da tabela: faremos linhas e colunas na ordem I, –I, J, –J, K, –K, L, –L. Assim obtemos a tabela completa de multiplicação dos quatérnios.