Resolva as equações apresentando o conjunto solução
5<|x^2+2 x-3|<12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
5 < l|x^2 + 2x - 3r| < 12
ou seja, encontrar todos os x tais que o valor absoluto do polinômio Q(x)=x^2+2x-3 fique entre 5 e 12. Vamos usar a técnica de separar em dois casos a partir da definição de valor absoluto.

Passo 2

A condição
5 < l|Q(x)r| < 12
é equivalente a duas desigualdades simultâneas:
l|Q(x)r| > 5, l|Q(x)r| < 12
Cada uma dessas se traduz em:
l|Q(x)r|>5Longrightarrow Q(x)>5ou Q(x)<-5,
l|Q(x)r|<12Longrightarrow -12<Q(x)<12
Logo temos dois ramos a examinar:
(i) 5< Q(x)<12 e (ii) -12< Q(x)<-5

Passo 3

Resolver o caso (i):
5< x^2+2x-3<12
Isto equivale a resolver o sistema
x^2+2x-3>5, x^2+2x-3<12
Rewrite cada parte:
x^2+2x-3>5;Long<=ftrightarrow;x^2+2x-8>0,
x^2+2x-3<12;Long<=ftrightarrow;x^2+2x-15<0
Fatorando:
x^2+2x-8=(x+4)(x-2),raízes em x=-4,2, í
x^2+2x-15=(x+5)(x-3),raízes em x=-5,3 í
Logo
x^2+2x-8>0Long<=ftrightarrow x< -4 ou x>2,
x^2+2x-15<0Long<=ftrightarrow -5< x<3
A intersecção é
l((-infty,-4)cup(2,infty)r),cap,(-5,3) =(-5,-4),cup,(2,3)

Passo 4

Resolver o caso (ii):
-12< x^2+2x-3< -5
Isso dá o sistema
x^2+2x-3>-12, x^2+2x-3< -5
A primeira desigualdade é
x^2+2x+9>0,
que é sempre verdadeira (discriminante negativo). A segunda é
x^2+2x+2<0,
cujo discriminante 4-8=-4 impede raízes reais, e como o coeficiente do quadrado é positivo, essa inequação não admite solução. Logo não há x para o caso (ii).

Resposta

xmid 5<|x^2+2x-3|<12=(-5,-4),cup,(2,3)

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