Resolva as equações:
(a) y^{\prime}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{x - 2y}.
Esse tipo de equação é separável: podemos agrupar os termos em y de um lado e em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o lado direito como produto de exponenciais e separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} = e^x\,e^{-2y} \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int e^{2y}\,dy = \int e^x\,dx
\frac{1}{2}e^{2y} = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando ambos os lados por 2 e renomeando 2C como K, temos
e^{2y} = 2e^x + K,
2y = \ln\bigl(2e^x + K\bigr),
y(x) = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(2e^x + K\bigr).

Resposta

A solução geral da equação
y' = e^{x-2y}
é
y(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl(2e^x + K\bigr),
onde K é uma constante arbitrária.

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