Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, à ordem e à linearidade:
(a) y y^{\prime \prime}+t=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a equação dada é \;y\,y^{\prime\prime}+t=0\;. O enunciado pede que eu classifique essa equação quanto a três coisas: (i) o tipo, (ii) a ordem e (iii) a linearidade. Essas são as três informações que vou determinar.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui e como identificar: por “tipo” normalmente entendemos se a equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou uma equação diferencial parcial (EDP).
  • Uma EDO envolve derivadas em relação a uma única variável independente (por exemplo t) e a função incógnita depende somente dessa variável, por exemplo y(t).
  • Uma EDP envolve derivadas parciais e depende de duas ou mais variáveis independentes, por exemplo u(x,t) com derivadas como u_{t} e u_{xx}.
    Na nossa equação aparece t como a variável independente e y com derivadas convencionais y^{\prime\prime}, então trata-se de uma equação em que a função incógnita é y(t) e há derivadas ordinárias. Portanto o tipo é equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

O que é a “ordem” de uma equação diferencial e como achar aqui: a ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação. Exemplos:
  • Se aparece só y' (derivada primeira), a ordem é \;1\;.
  • Se aparece até y^{\prime\prime\prime} (derivada terceira), a ordem é \;3\;.
    Na equação dada o maior derivada que aparece é y^{\prime\prime} (segunda derivada). Logo a ordem é \;2\; (segunda ordem).

Passo 4

O que significa “linearidade” e como testar: uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os coeficientes a_k(t) e o termo independente g(t) dependem apenas da variável independente t (ou são constantes), e não dependem de y nem de suas derivadas. Em outras palavras, cada termo que envolve y ou suas derivadas aparece com coeficiente que não contém y. Se houver produtos entre y e suas derivadas, potências não lineares em y, funções não lineares de y (como \sin y, y^2, 1/y, etc.), então a equação é não linear.

Passo 5

Aplicando o teste de linearidade na equação dada: escrevemos a equação como
y\,y^{\prime\prime} + t = 0.
Aqui aparece o termo y\,y^{\prime\prime}, que é o produto da função incógnita y pelo seu segundo derivada y^{\prime\prime}. Isso significa que o coeficiente do termo y^{\prime\prime} é y — ou seja, depende da própria função incógnita y, e não apenas de t. Portanto a equação não se encaixa na forma linear com coeficientes a_n(t) que dependem só de t. Se tentarmos dividir por y (quando y\neq0) obtemos
y^{\prime\prime} + \frac{t}{y}=0,
e o termo \dfrac{t}{y} ainda depende de y, mostrando de novo a não linearidade. Conclusão: a equação é não linear.

Passo 6

Resumo final (para consultar rápido antes da prova):
  • Tipo: é uma EDO porque envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável t.
  • Ordem: é de ordem \;2\; pois aparece y^{\prime\prime}.
  • Linearidade: é não linear porque há o produto \;y\,y^{\prime\prime}\; (o coeficiente de y^{\prime\prime} depende de y).

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: \;2\;.
Linearidade: não linear.

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