Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, à ordem e à linearidade:
(a)
(a)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a equação dada é
. O enunciado pede que eu classifique essa equação quanto a três coisas: (i) o tipo, (ii) a ordem e (iii) a linearidade. Essas são as três informações que vou determinar.
Passo 2
O que significa “tipo” aqui e como identificar: por “tipo” normalmente entendemos se a equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou uma equação diferencial parcial (EDP).
- Uma EDO envolve derivadas em relação a uma única variável independente (por exemplo
) e a função incógnita depende somente dessa variável, por exemplo . - Uma EDP envolve derivadas parciais e depende de duas ou mais variáveis independentes, por exemplo
com derivadas como e .
Na nossa equação aparececomo a variável independente e com derivadas convencionais , então trata-se de uma equação em que a função incógnita é e há derivadas ordinárias. Portanto o tipo é equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 3
O que é a “ordem” de uma equação diferencial e como achar aqui: a ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação. Exemplos:
- Se aparece só
(derivada primeira), a ordem é . - Se aparece até
(derivada terceira), a ordem é .
Na equação dada o maior derivada que aparece é(segunda derivada). Logo a ordem é (segunda ordem).
Passo 4
O que significa “linearidade” e como testar: uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem apenas da variável independente
(ou são constantes), e não dependem de
nem de suas derivadas. Em outras palavras, cada termo que envolve
ou suas derivadas aparece com coeficiente que não contém
. Se houver produtos entre
e suas derivadas, potências não lineares em
, funções não lineares de
(como
,
,
, etc.), então a equação é não linear.
Passo 5
Aplicando o teste de linearidade na equação dada: escrevemos a equação como
Aqui aparece o termo
, que é o produto da função incógnita
pelo seu segundo derivada
. Isso significa que o coeficiente do termo
é
— ou seja, depende da própria função incógnita
, e não apenas de
. Portanto a equação não se encaixa na forma linear com coeficientes
que dependem só de
. Se tentarmos dividir por
(quando
) obtemos
e o termo
ainda depende de
, mostrando de novo a não linearidade. Conclusão: a equação é não linear.
Passo 6
Resumo final (para consultar rápido antes da prova):
- Tipo: é uma EDO porque envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável
. - Ordem: é de ordem
pois aparece . - Linearidade: é não linear porque há o produto
(o coeficiente de depende de ).
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: não linear.
Ordem:
Linearidade: não linear.