Resolva cada PVI abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem e forma linear não homogênea do tipo
com e . - A condição inicial é
.
A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Vamos usar o método padrão para equações lineares de primeira ordem: multiplicar por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
.
A regra para escolher o fator integrante é:
onde
é o coeficiente de
na forma
.
Aqui
, então calculamos
Passo 3
Calculemos a integral
. Usando a regra da potência,
Portanto o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
. Fazendo isso obtemos
O lado direito simplifica porque
. Então
Passo 5
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Vamos calcular a integral do lado direito.
Passo 6
Para calcular
fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Substituindo:
onde
é constante de integração.
Portanto da integração anterior obtemos
Passo 7
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
dá
Simplificando o primeiro termo usando propriedades de potências do exponencial:
Logo
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão de
:
Assim
Passo 9
Substituímos
na solução geral para obter a solução particular do PVI:
Podemos fatorar
se quisermos: