Resolva cada PVI abaixo:
(d)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+x^{4} y=x^{4} e^{4 x^{5} / 5} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+x^{4} y=x^{4} e^{4 x^{5} / 5},\\[4pt] y(0)=1. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem e forma linear não homogênea do tipo y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=x^4 e Q(x)=x^4 e^{4x^5/5}.
  • A condição inicial é y(0)=1.
    A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Vamos usar o método padrão para equações lineares de primeira ordem: multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y(x).
A regra para escolher o fator integrante é:
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right),
onde P(x) é o coeficiente de y na forma y'+P(x)y=Q(x).
Aqui P(x)=x^4, então calculamos
\mu(x)=\exp\!\left(\int x^4\,dx\right).

Passo 3

Calculemos a integral \int x^4\,dx. Usando a regra da potência,
\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{x^5}{5}\right)=e^{x^5/5}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=e^{x^5/5}. Fazendo isso obtemos
e^{x^5/5}y' + x^4 e^{x^5/5} y = x^4 e^{4x^5/5} e^{x^5/5}.
O lado direito simplifica porque e^{4x^5/5} e^{x^5/5}=e^{5x^5/5}=e^{x^5}. Então
e^{x^5/5}y' + x^4 e^{x^5/5} y = x^4 e^{x^5}.

Passo 5

Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y(x). Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^5/5} y\bigr) = x^4 e^{x^5}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^5/5} y\bigr)\,dx = \int x^4 e^{x^5}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{x^5/5} y. Vamos calcular a integral do lado direito.

Passo 6

Para calcular \int x^4 e^{x^5}\,dx fazemos a substituição u=x^5. Então du=5x^4\,dx, ou seja x^4\,dx=\dfrac{du}{5}. Substituindo:
\int x^4 e^{x^5}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5} e^{u} + C = \frac{1}{5} e^{x^5} + C,
onde C é constante de integração.
Portanto da integração anterior obtemos
e^{x^5/5} y = \frac{1}{5} e^{x^5} + C.

Passo 7

Agora isolamos y. Multiplicando ambos os lados por e^{-x^5/5}
y = \frac{1}{5} e^{x^5} e^{-x^5/5} + C e^{-x^5/5}.
Simplificando o primeiro termo usando propriedades de potências do exponencial:
e^{x^5} e^{-x^5/5} = e^{x^5(1 - 1/5)} = e^{4x^5/5}.
Logo
y(x) = \frac{1}{5} e^{4x^5/5} + C e^{-x^5/5}.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 na expressão de y(x):
1 = y(0) = \frac{1}{5} e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{5} + C.
Assim
C = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.

Passo 9

Substituímos C=\dfrac{4}{5} na solução geral para obter a solução particular do PVI:
y(x) = \frac{1}{5} e^{4x^5/5} + \frac{4}{5} e^{-x^5/5}.
Podemos fatorar \dfrac{1}{5} se quisermos:
y(x)=\frac{1}{5}\Bigl(e^{4x^5/5}+4 e^{-x^5/5}\Bigr).

Resposta

y(x)=\frac{1}{5} e^{4x^5/5}+\frac{4}{5} e^{-x^5/5}

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