Resolva as Equações de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{2 x}=\frac{x}{y^{3}}, y(1)=2;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2x}\,y = \frac{x}{y^3},
com condição inicial y(1)=2.
Conteúdo: equações diferenciais de Bernoulli, que têm a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^n,
e se resolvem por substituição z = y^{1-n}.

Passo 2

Identificamos P(x)=\tfrac1{2x}, Q(x)=x e n=-3. Então 1-n=4.
Multiplicamos toda a equação por y^{-n}=y^3 para linearizar em y^4:
y^3\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2x}\,y^4 = x.
Defina agora
z = y^4.
Como
\frac{dz}{dx} = 4\,y^3\frac{dy}{dx},
temos
y^3\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}\,\frac{dz}{dx}.

Passo 3

Substituindo y^3\,dy/dx e y^4=z na equação multiplicada, obtemos
\frac{1}{4}\,\frac{dz}{dx} + \frac{1}{2x}\,z = x.
Multiplicando tudo por 4 dá a equação linear em z:
\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x}\,z = 4x.

Passo 4

Para resolver
\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x}\,z = 4x
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^2.
Multiplicando a equação por x^2 resulta em
x^2\frac{dz}{dx} + 2x\,z = 4x^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^2 z\bigr) = 4x^3.
Integrando ambos os lados:
x^2 z = \int 4x^3\,dx = x^4 + C,
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z = x^2 + C\,x^{-2}.

Passo 5

Voltando a z=y^4 e usando y(1)=2 implica z(1)=2^4=16. Assim,
16 = 1^2 + C\cdot1^{-2} \quad\Rightarrow\quad C = 15.

Passo 6

Substituindo C=15 em y^4 = z = x^2 + 15\,x^{-2} e extraindo a quarta raiz, obtemos a solução particular:
y(x) = \bigl(x^2 + \tfrac{15}{x^2}\bigr)^{1/4}.

Resposta

y(x) = \Bigl(x^2 + \frac{15}{x^2}\Bigr)^{\!1/4},\quad y(1)=2.

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