Verifique quais EDO’s são exatas. Em caso afirmativo, encontre a solução geral.
(y \sin x+x y \cos x) d x+(x \sin x+1) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr)\,dx + \bigl(x\sin x + 1\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é EDOs exatas, então vamos usar o critério
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
para testar exatidão, onde M(x,y) é o coeficiente de dx e N(x,y) o coeficiente de dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y\sin x + x y\cos x, \qquad N(x,y) = x\sin x + 1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \sin x + x\cos x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \sin x + x\cos x.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
a EDO é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) = \int\bigl(y\sin x + x y\cos x\bigr)\,dx = -y\cos x + y\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + h(y) = x y\sin x + h(y).

Passo 5

Para determinar h(y), usamos \psi_y = N:
\psi_y = x\sin x + h'(y) = x\sin x + 1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y.
Logo a função potencial é
\psi(x,y) = x y\sin x + y,
e a solução geral implícita fica
\psi(x,y)=C.

Resposta

y\bigl(x\sin x + 1\bigr) = C.

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