(vale 2,0 pts) \square Use o Teorema de Stokes para calcular
\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde \vec{F}(u, v, w)=<u w, v w, u v>,(u, v, w) \in \mathbb{R}^{3}, e S é a parte da esfera u^{2}+v^{2}+w^{2}=4 dentro do cilindro u^{2}+v^{2}=1 e acima do plano u v.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}\nabla \times \vec F\cdot d\vec S,
onde \vec F(u,v,w)=\langle u w,\;v w,\;u v\rangle, e S é a parte da esfera
u^{2}+v^{2}+w^{2}=4
dentro do cilindro u^{2}+v^{2}=1 e acima do plano w=0.
Vamos usar o Teorema de Stokes para trocar essa integral de superfície por uma integral de linha ao longo da fronteira \partial S.

Passo 2

Calcular \nabla\times\vec F. Seja \vec F=(P,Q,R) com
P=u w,\quad Q=v w,\quad R=u v.
Então
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial v}-\frac{\partial Q}{\partial w},\; \frac{\partial P}{\partial w}-\frac{\partial R}{\partial u},\; \frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\Bigr).
Calculando termo a termo:
\frac{\partial R}{\partial v}-\frac{\partial Q}{\partial w} =\frac{\partial(u v)}{\partial v}-\frac{\partial(v w)}{\partial w} =u - v,
\frac{\partial P}{\partial w}-\frac{\partial R}{\partial u} =\frac{\partial(u w)}{\partial w}-\frac{\partial(u v)}{\partial u} =u - v,
\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v} =\frac{\partial(v w)}{\partial u}-\frac{\partial(u w)}{\partial v} =0.
Logo
\nabla\times\vec F=\langle u-v,\;u-v,\;0\rangle.

Passo 3

A fronteira \partial S é o círculo de interseção da esfera com o cilindro e w\ge0. Na esfera temos
u^{2}+v^{2}+w^{2}=4,\quad u^{2}+v^{2}=1 \;\Longrightarrow\; w=\sqrt{4-1}=\sqrt3.
Parametrizamos esse círculo por
\vec r(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;\sqrt3\bigr), \quad 0\le t\le2\pi.
Para o vetor normal de S apontar para fora da esfera (tem componente w>0), a orientação positiva de \partial S é a dada pelo sentido anti-horário visto de cima, compatível com t crescente.

Passo 4

Na curva \vec r(t) temos
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;0),
e
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(u w,\;v w,\;u v\bigr) =\bigl(\cos t\sqrt3,\;\sin t\sqrt3,\;\cos t\sin t\bigr).
Então o integrando da linha é
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =\bigl(\sqrt3\cos t,\;\sqrt3\sin t,\;\cos t\sin t\bigr)\cdot(-\sin t,\cos t,0) =\sqrt3\bigl(-\cos t\sin t+\sin t\cos t\bigr)=0.
Logo
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}0\;dt=0.
Pelo Teorema de Stokes,
\iint_{S}\nabla\times\vec F\cdot d\vec S =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =0.

Resposta

0

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