(vale 2,0 pts)
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
, e
é a parte da esfera
dentro do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
, e
é a parte da esfera
dentro do cilindro
e acima do plano
.
Vamos usar o Teorema de Stokes para trocar essa integral de superfície por uma integral de linha ao longo da fronteira .
Vamos usar o Teorema de Stokes para trocar essa integral de superfície por uma integral de linha ao longo da fronteira
Passo 2
Calcular
. Seja
com
Então
Calculando termo a termo:
Logo
Passo 3
A fronteira
é o círculo de interseção da esfera com o cilindro e
. Na esfera temos
Parametrizamos esse círculo por
Para o vetor normal de
apontar para fora da esfera (tem componente
), a orientação positiva de
é a dada pelo sentido anti-horário visto de cima, compatível com
crescente.
Passo 4
Na curva
temos
e
Então o integrando da linha é
Logo
Pelo Teorema de Stokes,