Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
Passo 1
Resumo do Problema
Estamos enfrentando a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação usando os métodos das equações de Bernoulli e Ricatti. Para isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar as transformações necessárias para encontrar a solução.
Passo 2
Identificando o Tipo de Equação
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. A equação dada pode ser reescrita na forma geral de uma equação de Ricatti:
Comparando com a nossa equação:
As equações de Ricatti são não-lineares e podem ser desafiadoras, mas uma dica importante é que, se conhecermos uma solução particular da equação, podemos transformar a Ricatti em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 3
Utilizando a Solução Particular
Felizmente, o problema nos dá uma solução particular:
Vamos usar essa solução para simplificar a equação original. A ideia é fazer uma substituição que elimine o termo quadrático em
, transformando a equação em algo mais manejável.
Passo 4
Substituição para Simplificar
Fazemos a seguinte substituição:
Substituindo
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo na Equação Original
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando o lado direito passo a passo:
-
Distribuindo os termos:
-
Distribuindo o -2:
-
Cancelando termos semelhantes:
Passo 6
Arranjando a Equação para
Agora, igualamos os dois lados da equação:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Simplificando os termos:
Passo 7
Transformando em Equação Linear
Rearranjando os termos, temos:
Podemos fatorar
:
Essa é uma equação linear na forma padrão:
onde:
Passo 8
Determinando o Fator Integrante
Para resolver uma equação linear, usamos um fator integrante
:
Calculamos a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 9
Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante
Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação se torna exata e pode ser integrada diretamente.
Passo 10
Integrando Ambos os Lados
A equação exata se escreve como:
Portanto:
Integrando ambos os lados:
Fazemos a substituição
, então
:
Logo:
Passo 11
Resolvendo para
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 12
Encontrando
a partir de
Lembrando que:
Substituindo
:
Simplificando:
Podemos redefinir a constante
como
, onde
é uma constante arbitrária, para simplificar a expressão final:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.