Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
d yd x=2 x^2+1x y-2 y^2, y1(x)=x

Passo 1

Resumo do Problema

Estamos enfrentando a seguinte equação diferencial:
dydx = 2 x^2 + 1x y - 2 y^2, y1(x) = x
Nosso objetivo é resolver essa equação usando os métodos das equações de Bernoulli e Ricatti. Para isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar as transformações necessárias para encontrar a solução.

Passo 2

Identificando o Tipo de Equação

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. A equação dada pode ser reescrita na forma geral de uma equação de Ricatti:
dydx = q0(x) + q1(x) y + q2(x) y^2
Comparando com a nossa equação:
As equações de Ricatti são não-lineares e podem ser desafiadoras, mas uma dica importante é que, se conhecermos uma solução particular da equação, podemos transformar a Ricatti em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 3

Utilizando a Solução Particular

Felizmente, o problema nos dá uma solução particular:
y1(x) = x
Vamos usar essa solução para simplificar a equação original. A ideia é fazer uma substituição que elimine o termo quadrático em , transformando a equação em algo mais manejável.

Passo 4

Substituição para Simplificar

Fazemos a seguinte substituição:
y = y1(x) + 1u
Substituindo y = x + 1u :
dydx = ddx(x + 1u) = 1 - 1u^2 dudx
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo na Equação Original

Vamos substituir 1 - 1u^2 dudx = 2x^2 + 1x(x + 1u) - 2(x + 1u)^2 e 2x^2 + 1 + 1xu - 2(x^2 + 2xu + 1u^2) na equação original:
2x^2 + 1 + 1xu - 2x^2 - 4xu - 2u^2
Simplificando o lado direito passo a passo:
  1. Distribuindo os termos:
    1 + 1xu - 4xu - 2u^2
  2. Distribuindo o -2:
  3. Cancelando termos semelhantes:

Passo 6

Arranjando a Equação para 1 - 1u^2 dudx = 1 + 1xu - 4xu - 2u^2

Agora, igualamos os dois lados da equação:
-1u^2 dudx = 1xu - 4xu - 2u^2
Subtraímos 1 de ambos os lados:
dudx = -u^2 ( 1xu - 4xu - 2u^2 )
Multiplicamos ambos os lados por dudx = -ux + 4x u - 2 para simplificar:
Simplificando os termos:

Passo 7

Transformando em Equação Linear

Rearranjando os termos, temos:
dudx + ux - 4x u = -2
Podemos fatorar dudx + u( 1x - 4x ) = -2 :
dudx + P(x) u = Q(x)
Essa é uma equação linear na forma padrão:
onde:

Passo 8

Determinando o Fator Integrante

Para resolver uma equação linear, usamos um fator integrante mu(x) = exp( integral P(x) dx ) :
integral ( 1x - 4x ) dx = ln|x| - 2x^2
Calculamos a integral de mu(x) = e^ln|x| - 2x^2 = x e^-2x^2 :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 9

Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante

Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante x e^-2x^2 dudx + x e^-2x^2 ( 1x - 4x ) u = -2 x e^-2x^2 :
x e^-2x^2 dudx + (1 - 4x^2) e^-2x^2 u = -2x e^-2x^2
Simplificando:
Agora, a equação se torna exata e pode ser integrada diretamente.

Passo 10

Integrando Ambos os Lados

A equação exata se escreve como:
ddx ( mu(x) u ) = Q(x) mu(x)
Portanto:
ddx ( x e^-2x^2 u ) = -2x e^-2x^2
Integrando ambos os lados:
x e^-2x^2 u = integral -2x e^-2x^2 dx + C
Fazemos a substituição integral -2x e^-2x^2 dx = 12 e^-2x^2 + C , então x e^-2x^2 u = 12 e^-2x^2 + C :
Logo:

Passo 11

Resolvendo para u = 12x + C e^2x^2x

Dividimos ambos os lados por :

Passo 12

Encontrando y = x + 1u a partir de y = x + 1 12x + C e^2x^2x

Lembrando que:
y = x + 2x1 + 2C e^2x^2
Substituindo y = x + 2x1 + K e^2x^2 :
Simplificando:
Podemos redefinir a constante como , onde é uma constante arbitrária, para simplificar a expressão final:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x + 2x1 + K e^2x^2
onde é uma constante arbitrária.

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