Resolva o problema de valor inicial dado
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver o problema de valor inicial e encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com a condição inicial
Informações dadas: a equação diferencial e o ponto inicial
. A solução deve ser a curva
que passa por esse ponto.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
. Da equação
passamos o primeiro termo para o outro lado:
Dividindo por
(assumimos momentaneamente
, depois verificamos consistência),
Agora temos
expresso como função de
e
.
Passo 3
Observação útil para escolher método: tanto o numerador quanto o denominador são expressões lineares em
e
(grau 1), então a razão é homogênea de grau 0. Uma técnica padrão para esse caso é usar a substituição
onde
é função de
. Isso transforma a equação em uma equação para
que costuma ser separável. Também precisamos da derivada:
Passo 4
Substituímos
e
na expressão para
:
Fatorando
no numerador e denominador à direita:
Agora isolamos
:
Calculamos a diferença no lado direito com cuidado:
Fatorando
:
Passo 5
Agora separamos variáveis para integrar. Colocamos todos os termos em
de um lado e o
do outro:
Explicação da separação: multiplicamos ambos os lados por
e por
, obtendo uma forma em que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 6
Integramos ambos os lados. Observação importante sobre a integral do lado esquerdo: a derivada de
é
, que é exatamente o numerador; portanto temos uma integral tipo
. Assim
No lado direito,
Colocando a constante de integração
,
Observação adicional:
para todo
(discriminante negativo), então podemos omitir barras de valor absoluto nesse termo se quisermos.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
se vier de exponenciação de algo real, mas deixamos
geral. Voltando à variável
com
, multiplicamos por
:
Esta é a solução geral implícita da equação diferencial (uma família de curvas com parâmetro
).
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
temos
Logo
. A solução particular implícita é
Passo 9
Se quisermos a forma explícita
, resolvemos a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial: em
temos
, então as duas raízes são
e
. Como queremos a solução que passa por
, escolhemos o sinal
.
Também é importante notar o domínio: a raiz existe enquanto , isto é
. O ponto inicial
está dentro desse intervalo.
Também é importante notar o domínio: a raiz existe enquanto
Passo 10
Portanto a solução do problema de valor inicial, na forma explícita e com o ramo que satisfaz
, é
valendo para
(domínio onde a expressão é real). Se for suficiente a forma implícita, ela é
que representa a mesma curva (a escolha do ramo positivo ou negativo de
depende da condição inicial).