Resolva o problema de valor inicial dado
(2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0, \quad y(1)=3

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver o problema de valor inicial e encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial
(2x-y)+(2y-x)\,y'=0
com a condição inicial
y(1)=3.
Informações dadas: a equação diferencial e o ponto inicial (x,y)=(1,3). A solução deve ser a curva y(x) que passa por esse ponto.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar y'. Da equação
(2x-y)+(2y-x)\,y'=0
passamos o primeiro termo para o outro lado:
(2y-x)\,y' = -(2x-y).
Dividindo por 2y-x (assumimos momentaneamente 2y-x\neq0, depois verificamos consistência),
y' = -\frac{2x-y}{2y-x} = \frac{y-2x}{2y-x}.
Agora temos y' expresso como função de x e y.

Passo 3

Observação útil para escolher método: tanto o numerador quanto o denominador são expressões lineares em x e y (grau 1), então a razão é homogênea de grau 0. Uma técnica padrão para esse caso é usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Isso transforma a equação em uma equação para v que costuma ser separável. Também precisamos da derivada:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituímos y=vx e \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na expressão para y':
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx-2x}{2vx-x}.
Fatorando x no numerador e denominador à direita:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x(v-2)}{x(2v-1)} = \frac{v-2}{2v-1}.
Agora isolamos x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v-2}{2v-1} - v.
Calculamos a diferença no lado direito com cuidado:
\frac{v-2}{2v-1} - v = \frac{v-2 - v(2v-1)}{2v-1} = \frac{v-2 -2v^2 + v}{2v-1} = \frac{-2v^2 +2v -2}{2v-1}.
Fatorando -2:
x\frac{dv}{dx} = -2\,\frac{v^2 - v +1}{2v-1}.

Passo 5

Agora separamos variáveis para integrar. Colocamos todos os termos em v de um lado e o x do outro:
\frac{2v-1}{v^2 - v +1}\,dv = -2\,\frac{dx}{x}.
Explicação da separação: multiplicamos ambos os lados por \frac{2v-1}{v^2-v+1} e por \frac{1}{x}, obtendo uma forma em que o lado esquerdo depende só de v e o direito só de x.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Observação importante sobre a integral do lado esquerdo: a derivada de v^2 - v +1 é 2v-1, que é exatamente o numerador; portanto temos uma integral tipo \int \frac{f'(v)}{f(v)}\,dv=\ln|f(v)|. Assim
\int \frac{2v-1}{v^2 - v +1}\,dv = \ln\bigl(v^2 - v +1\bigr).
No lado direito,
\int -2\,\frac{dx}{x} = -2\ln|x|.
Colocando a constante de integração C,
\ln\bigl(v^2 - v +1\bigr) = -2\ln|x| + C.
Observação adicional: v^2-v+1>0 para todo v (discriminante negativo), então podemos omitir barras de valor absoluto nesse termo se quisermos.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v^2 - v +1 = C x^{-2},
onde C>0 se vier de exponenciação de algo real, mas deixamos C geral. Voltando à variável y com v=y/x, multiplicamos por x^2:
y^2 - x y + x^2 = C.
Esta é a solução geral implícita da equação diferencial (uma família de curvas com parâmetro C).

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(1)=3 para determinar C. Substituindo x=1 e y=3 em
y^2 - x y + x^2 = C
temos
3^2 - 1\cdot 3 + 1^2 = 9 - 3 + 1 = 7.
Logo C=7. A solução particular implícita é
y^2 - x y + x^2 = 7.

Passo 9

Se quisermos a forma explícita y(x), resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 - x y + (x^2 -7)=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
y = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 -7)}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{-3x^2 + 28}}{2} = \frac{x \pm \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial: em x=1 temos \sqrt{28-3}=5, então as duas raízes são \frac{1+5}{2}=3 e \frac{1-5}{2}=-2. Como queremos a solução que passa por y(1)=3, escolhemos o sinal +.
Também é importante notar o domínio: a raiz existe enquanto 28-3x^2\ge0, isto é |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}. O ponto inicial x=1 está dentro desse intervalo.

Passo 10

Portanto a solução do problema de valor inicial, na forma explícita e com o ramo que satisfaz y(1)=3, é
y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2},
valendo para |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}} (domínio onde a expressão é real). Se for suficiente a forma implícita, ela é
y^2-xy+x^2=7,
que representa a mesma curva (a escolha do ramo positivo ou negativo de y depende da condição inicial).

Resposta

y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}

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