Resolva as equações de Bernoulli:
x^2 d yd x-2 x y=3 x y^4

Passo 1

Nessa questão a gente tem a equação x^2dydx-2xy=3x y^4. O conteúdo é equações de Bernoulli, e vamos precisar levar a equação para a forma padrão, identificar P(x), Q(x) e o expoente n, e depois usar a substituição u=y^1-n para transformá-la em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro a gente divide toda a equação por x^2 (assumindo xneq0) para obter a forma padrão:
dydx-2xy=3xy^4

Passo 3

Comparando com a forma de Bernoulli dydx+P(x)y=Q(x)y^n, temos P(x)=-2x, Q(x)=3x e n=4.

Passo 4

Para eliminar o termo y^n, usamos a substituição u=y^1-n=y^-3. Derivando, fica
dudx=-3y^-4dydx

Passo 5

Multiplicando a equação padrão por -3y^-4 e usando a expressão de dudx, a equação vira
dudx+6xu=-9x

Passo 6

É uma equação linear em u. O fator integrante é mu(x)=e^integral6/x,dx=x^6. Multiplicando tudo por x^6, obtemos
ddx(x^6u)=-9x^5

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
x^6u=integral-9x^5,dx=-96x^6+C=-32x^6+C

Passo 8

Isolando u, chega-se a u=-32+Cx^-6. Voltando para y com u=y^-3, a solução geral é
y^-3=-32+Cx^-6Longrightarrow y=l(-tfrac32+Cx^-6r)^-tfrac13

Resposta

A solução geral é
y=l(Cx^-6-tfrac32r)^-tfrac13,
onde C é uma constante arbitrária.

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